Nükleer fizikte matematiksel yöntemler ve Heun diferansiyel denklemi

Abstract

Bu tezde, fizikte değiş-tokuş etkileşimi olarak bilinen bir etkileşim türüne aitenerjiyi ifade eden bir operatörün (Hamiltonian) özdeğerlerini bulmakla u-raşmaktayız. Bu operatörün diagonalizasyonu genel olarak Bethe Ansatz adıverilen cebirsel bir yöntemle gerçekleştirilir ancak bunun için önce Bethe AnsatzDenklemleri adı verilen ve doğrusal olmayan bir denklem sisteminin çö-zülmesi gerekir. Biz bu tezde özel bir durumda Bethe Ansatz denklemlerininçözümlerini sıfırdan farkl özdeğerler için bulmayı sağlayan bir polinom formülasyonu geliştirdik. Öncelikle lineer olmayan bu Bethe Ansatz denklemlerininsu(2) cebiri operatörlerini kullanarak nasıll elde edilebileceğini gösterdikve kökleri bu denklemlerin çözümleri olan bir polinom tanımladık. Ardındanbu polinomun Heun diferansiyel denklemi olarak bilinen ikinci mertebedenözel bir diferansiyel denklemin çözümü olması gerektiğini gösterdik. Bu şekildeHeun diferansiyel denkleminin polinom çözümlerini bulmak suretiyleyukarda bahsettiğimiz özdeğerlere ulaşmış olduk. Ayrıca, özdeğerleri bu metodlahesaplayan bir Matlab program da geliştirdik.

In this thesis, we are interested in nding the eigenvalues of an operator (Hamiltonian)which describes the energy of an interaction known as the exchangeinteraction in physics. The diagonalization of this operator is usuallyperformed with an algebraic technique known as the Bethe Ansatz methodbut rst one has to solve a system of non-linear equations which are knownas Bethe Ansatz equations. In this thesis, we developed a polynomial formulationin order to solve Bethe Ansatz equations for non-zero eigenvalues in aspecial case. First we showed how to obtain these non-linear Bethe Ansatzequations using su(2) algebra operators and we dened a polynomial whoseroots are the solutions of these equations. Then we showed that this polynomialmust be the solution of a special second order dierential equationwhich is known as the Heun's dierential equation. In this way we arrivedat the above mentioned eigenvalues by nding polynomial solutions of theHeun's dierential equation. In addition, we developed Matlab code whichcalculates the eigenvalues with this method.