Singularities, sails and kites

Abstract

Eğri tekillikleri kolay çözümlenir ve bunların çözümlenme süreçlerine iki değişmez atayabiliriz: Enriques ağaçları ve dual diagramlar. Bu değiş}mezler, çözü}mlenme sürecindeki her bir patlatmanın geometrisini okumamıza yardımcı olur. Eğri tekillikleri için Enriques ağaçlarını kullanarak çoklu yelken diye adlandırdığımız yeni bir araç tanımladık. Çoklu yelkenlerin, Enriques ağaçlarından veya dual diagramlardan elde edebileceğimiz bilgileri aynı anda içerdiğini gösterdik. Aslında çoklu yelkenler yapısal olarak hem dual digramlar hem de Enriques ağaçlarını barındırır.Bu tezin asıl amacı, eğri tekillikleri için tanımladığımız araçları bazı yüzey tekillikleri için özellikle de minimal tekillikler için genelleştirmektir. Bu amaç için royal yelkenleri tanomladok ve iyi çözümlenmelere atanmış dual diagramların verteksleri için tanımlanan derinlik kavramını kullandık. Minimal tekillikler için bir verteksin derinliği, karşılık gelen istisnai bölenin görünmesi için gereken patlatma sayısına eşittir. Son olarak, aynı yapıyı rasyonel tekillikler için genelleştirmeye çalıştık.

Plane curve singularities are easy to resolve and/hspace{0.07cm} we can associate two invariants to their desingularization process: Enriques trees, dual graphs. These invariants helps to read the geometry of each blowing up in the desingularization process. We define a new tool called multiple sails for curve singularities using their Enriques trees and we associate kites to multiple sails. We show that multiple sails contains both of the informations we can get from dual graphs or Enriques trees. In fact, multiple sails contains dual graphs and Enriques trees together as structure. The main aim of this thesis is to generalize the tools we have defined on curve singularities for the case of some special surface singularities especially for minimal singularities. For this purpose, we define royal sails and we use the notion depth which is defined for vertices of dual graphs associated to strong desingularizations. For minimal singularities, depth of a vertex is equal to number of necessary blow-ups to make corresponding irreducible component appear. At last, we try to generalize the same construction for the case of rational singularities.