Markov theory and outer automorphism of PGL(2,Z)

Abstract

Markov sayıları, Markov denklemi adı verilen o ̈zel bir diyofant denklemin c ̧o ̈zu ̈mlerinden ortaya c ̧ıkan pozitif tamsayılardır. Bu sayıların su ̈rekli kesirler ve dolayısıyla diyofant yaklas ̧ımı ile ilgisi vardır. Bir α reel sayısı ic ̧in Lagrange sayısı, α−p/q<1/lq2 es ̧itsizlig ̆inisonsuzsayıdarasyonel p/qsayıic ̧insag ̆layanreell deg ̆erlerinin supremumu olarak tanımlanır. Ayrıca tu ̈m α reel sayılarına ait Lagrange sayılarının ku ̈mesine Lagrange spektrumu denir.Dahası, Markov sayıları bazı kuadratik irrasyonellere ait Lagrange sayılarını ic ̧eren Lagrange-Markov spektrumu ile ilgilidr. Bu c ̧alıs ̧mada Lagrange sayıları 3'ten ku ̈c ̧u ̈k o ̈yle ki su ̈rekli kesir ac ̧ılımları [...,a1,a2,a3,...] , ai ∈ {1,2} formunda olan Markov kuadratik irrasyonelleri ku ̈mesi u ̈zerinde durulacaktır. O ̈te yandan, genis ̧letilmis ̧ modu ̈ler grubun dıs ̧ otomorfizminden kaynaklanan, reel sayıların Jimm adında temel bir envolu ̈syonu vardır. Bu envolu ̈syonun reel sayılara dig ̆er bir deyis ̧le su ̈rekli kesir ac ̧ılımlarına etkisi son zamanlarda kes ̧fedilmis ̧tir.Bu tezde, c ̧alıs ̧manın c ̧es ̧itli bo ̈lu ̈mleri arasında bag ̆lantılar bulmayı amac ̧layarak, Markov irrasyonellerinin yukarıda bahsedilen Jimm envolu ̈syonu altındago ̈ru ̈ntu ̈ ku ̈mesinin Markov sayılarına bag ̆lı olarak bir sınıflandırmasının veya o ̈zgu ̈n bir o ̈zellig ̆inin olup olmadıg ̆ı aras ̧tırılmıs ̧tır. Markov sayıları ikili kuadratik formlar, hiperbolik geometri ve kombinatuar gibi matematig ̆in bir c ̧ok alanında kars ̧ımıza c ̧ıkar. Bu sebeple benzer sorular farklı alanlara tas ̧ınarak muhtemel sonuc ̧lar tartıs ̧ılmıs ̧tır.

The Markov numbers are positive integers that arise from the solutions of a special Diophantine equation, called Markov equation. These numbers appear in the context of continued fractions and so Diophantine approximation.The Lagrange number of the real number α is defined as the supremum of real numbers l such that α − p/q< 1/lq2 for an infinite number of rationals p/q. The Lagrange spectrum is defined as the set of Lagrange numbers of α ∈ R/Q .Further, the solutions are related with the Lagrange-Markov spectrum which consists of those quadratic numbers which are badly approximable by rational numbers. We focus here on the set of irrationals α, called Markov irrationals, with L(α) < 3 such that continued fraction expansion of such numbers is in the form [...,a1,a2,a3,...] withai ∈ {1, 2}. However, there is a fundamental involution Jimm of real line induced by the outer automorphism of the extended modular group PGL(2, Z). Its action on the real line, explicitly on continued fraction expansion, recently discovered.In this dissertation, with the aim of finding relations on various parts of this work, we consider to ask whether there is a classification related to Markov number or a special property the set of image of Markov irrationals under the involution Jimm. Markov numbers also appear in many parts of mathematics such as binary quadratic forms, hyperbolic geometry and the combinatorial of words and we investigated analogous problem in different topics.