Monotonous cellular decomposition

Abstract

Bu tez, tanımlanabilir kümelere bir kısıtlama getiren ve üzerinde çalışılan topolojinin daha kolay olmasını sağlayan o-minimallik aksiyomlarına ilişkin bazı sonuçlara ve ayrıca van den Dries ve Gabrielov tarafından tanımlanan, açık hücrelere ve tanımlanabilir fonksiyonlara monotonluk özelliği taşıyan vdD-düzenliliği ve hücrelere güçlü bir topolojik özellik getiren Gabrielov-düzenliliği olarak adlandıracağımız iki ayrı düzenlilik kavramına odaklanmaktadır. Bu çalışmada, tanımlanabilir fonksiyonların, o-minimal yapılardaki tanımlanabilir kümelerin sonlu olma özellikleri sayesinde açığa çıkan Monotonluk Teoremi ve Hücresel Ayrışma Teoremi gibi bazı önemli özelliklerini veriyoruz. Daha sonra, bu iki teoremi birleştiren ve daha güçlü bir teoreme ulaşmamızı sağlayan- Düzenli Hücresel Ayrışma Teoremi- vdD-düzenliliği ile ilgileniyoruz. Çalışmamızda literatürde kanıtı bulunmayan Düzenli Hücresel Ayrışma Teoremi'ni kanıtlıyoruz. Sonrasında, vdD-düzenli olan hücreler zorunlu olarak topolojik anlamda düzenli olmazken, topolojik olarak düzenli olan hücrelere ulaşmak amacıyla Gabrielov tarafından tanımlanan yeni bir düzenlilik kavramı üzerinde çalışıyoruz. Son olarak, Gabrielov tarafından verilen, vdD-düzenli olan ancak Gabrielov-düzenli olmayan bir örneği detaylıca inceliyoruz.

This thesis focuses on some results regarding the axioms of o-minimality which give rise to a restriction on definable sets ensuring the tameness of the topology, and also two regularity notions defined by van den Dries and by Gabrielov that we will simply call vdD-regularity which imposes some monotonicity properties on functions involved in the definition of open cells and definable functions, and Gabrielov-regularity which provides strong topological properties on cells.In this work, we first give some nice features of definable maps such as the Monotonicity Theorem and the Cell Decomposition Theorem which follow from the finiteness properties of definable sets in o-minimal structures. Then we present vdD-regularity which combines these two results and yields to state a more powerful theorem, namely Regular Cell Decomposition Theorem. In our work, we prove this theorem which has no proof in the literature. Afterwards, we are interested in a new regularity notion which is defined by Gabrielov to obtain cells that are topologically regular, whereas vdD-regularity does not necessarily imply this property. Indeed, we will examine an example in detail which is given by Gabrielov of a cell which is regular in the sense of van den Dries but not in the sense of Gabrielov.