A Characterization of the reachability subspaces of singular systems through matrix pencils

Abstract

ÖZET Bu tezde, doğrusal, zamandan bağımsız ve sonlu-boyutlu tekil dizge (E,A,B)'n1n erişilebilirlik alt-uzayları, bir tekil düzey kalemi olan( sE-A ; -Bî'nin kernelindeki elemanlar cinsinden betimlenmektedir. Bir alt-uzay R'nin erişilebilirlik alt-uzayı olması için gerekli ve yeterli koşulun, (sE-A)x(s)=Bu(s) deklemini sağlayan, ve katsayılarının gerdiği uzayın R'ye eşit olduğu bir polinom vektörü x(s)'in varlığı olduğu gösterilmiştir. (E,A,B)'nin erişilebilirlik indisleri olarak isimlendirilen bir tamsayı kümesi, N B'yi soldan sıfırlayan bir dizey olmak içere, (sNE-NA) dizey kaleminin Kronecker indisleri cinsinden tanımlanmış, ve bu indislerin, denetlenebilir tekil dizgeler sınıfı için tam bir yörüngesel değişmezler kümesi olduğu gösterilmiştir. Bir dizgenin bütün erişilebilirlik alt-uzaylarının boyutlarını veren bir dizin, erişilebilirlik indisleri kullanılarak yazılabilmiştir. Ayrıca, verilen q-boyutlu bir erişilebilirlik alt-uzayının, bu boyuta sahip tek erişilebilirlik alt-uzayı olup olmadığını bildiren bir ölçüt getirlmiştir.Ast (proper) ve ast olmayan (nonproper) erişilebilirlik indisleri, dizgenin düzgün ve dürtülü hareketlerinin cebirsel bir ayrımını sağlamak amacıyla tanımlanmıştır. Yine aynı nedenle ast ve ast olmayan erişilebilirlik alt-uzayları tanımlanmış, ve bir dizgenin ast (veya ast olmayan) erişilebilirlik alt-uzaylarını olası bütün boyutlarını veren bir dizini, ast ve ast olmayan erişilebilirlik indislerini kullanarak yazmak mümkün olmuştur.

IV ABSTRACT The reachability subspaces of the linear, time- Invariant, finite-dimensional singular system (£,A,B) are characterized in terms of the elements of the right null-space of the singular pencil of matrices [sE-A ; -BJ. It is shown that a subspace R is a reachability subspace if and only if there exists a vector polynomial x(s) satisfying (sE-A)x(s)=Bu(s) for some vector polynomial u(s), such that R=Span x(s), where Span x(s) denotes the real vector space spanned by the coefficients of x(s). A set of integers called the reachability indices of (E.A.B) are defined in terms of the Kronecker indices of (sNE-NA), where N is a left annihilator of B, and are shown to be a complete set of orbital invariants for the class of singular controllable systems. An enumeration of all the possible dimensions of the reachability subspaces of a singular system is given in terms of the reachability indices. A condition Is presented, using which it is possible to tell exactly when a reachability subspace of dimension q is the unique one having that dimension. Proper and nonproper reachability indices are defined as an algebraic reflection of the smooth versus discontinuous or impulsive modes of the system. By the same motivation, proper and nonproper reachability subspaces are defined, and all the possible dimensions of the proper (or nonproper) reachability subspaces of (E.A.B) are enumerated.