Infinite elements in finite element method

Abstract

Sonlu elemanlar yönteminde, gerilme problemlerinin ya da tabiatta karşılaştığımızbazı problemlerin modellenmesinde; ilgilenilen bölgeden uzakta, sonsuza uzanan sınırlarınsabitlenmesi çok sık olarak kullanılmaktadır. Ancak, bu problemlerin sonsuza uzanansınırlarında sonsuz elemanlar kullanılması durumunda, daha gerçekçi ve doğru sonuçlarelde edilebilmektedir.Önce sonsuz elemanların genel bir tanımı verilmiş, daha sonra bu elemanlarınbulunuşu ve tarihsel gelişiminden detaylı olarak bahsedilmiştir. Yine bu elemanların,a) Haritalanan sonsuz elemanlar ve b) Azalan fonksiyonlu sonsuz elemanlar olaraksınıflandırılması yapılmıştır. Öncelikle, bir boyutlu sonsuz elemanlar tarif edilmiştir. Dahasonra geometrik ve bilinmeyen değişken interpolasyonunun tanımlanmasının ardından,gerilme ve stifnes matrisleri oluşturulmuştur. Bu tezde, toplam 23 farklı sonsuz eleman tipi1 Boyutlu (5), 2 Boyutlu (13), ve 3 Boyutlu (5) incelenmiştir. Bu elemanların geometrik vebilinmeyen değişken interpolasyon fonksiyonları son derece sistematik ve anlaşılır birbiçimde sunulmuştur.Sonsuz elemanların son derece yüksek performans ve doğru sonuçlar verdiklerinigösterebilmek amacıyla, dört değişik örnek çalışma verilmiştir. İlk olarak, yarı sonsuz aksisimetrikortama etkiyen tekil yük ve dairesel düzgün yayılı yük analizleri sonsuz elemanlarkullanılarak ve kullanılmadan yapılmıştır. Sonuçlar, Boussinesq'in kesin çözümü ilekarşılaştırmalı olarak sunulmuştur. Daha sonra, üç boyutlu sonlu ve üç boyutlu sonsuzelemanlar kullanılarak, yarı sonsuz ortamdaki kare bir plağın analizi verilmiştir. Dahasonra, yarı sonsuz ortamdaki kare bir plağın düşey titreşimi verilmiştir. Son olarak,Boussinesq problemi için hassaslık analizi yapılmıştır. Ayrıca, problemin sonsuza gidensınırlarında yaylar kullanılmıştır ve sonuçlar irdelenmiştir. Örnekler göstermiştir ki, sadecesonlu elemanlar kullanıldığında sonuçlar, problemin kesin çözümüne uzak kalırken; sonsuzelemanların kullanılması ile kesin çözüme çok yakın değerler elde edilmektedir.

It is natural and common to idealize stress or field problems into finite elementmodels with rigid boundaries remote from the area of interest. However, the degree ofaccuracy of solutions may be significantly increased, if infinite elements extending toinfinity are used all along the rigid boundaries.Infinite elements are introduced and also the history and development of theseelements are discussed in detail. The classification of the infinite elements is made as, a)Mapped infinite elements, and b) Decay function infinite elements. Firstly, unidimensionalinfinite elements are described and after the geometric and field variableinterpolation of these elements are expressed; the strain matrix and the stiffness matrix areexplicitly obtained. In this presentation, a total of 23 different types of 1-D (5), 2-D (13),and 3-D (5) infinite elements have been investigated. Their geometrical configurations,coordinate mapping and field variable mapping functions are presented explicitly in asystematic fashion.In order to emphasize the high performance and accuracy of the infinite elements,four distinct case studies have been presented. Firstly, the deflection and stress analyses ofa point load and a circular uniform distributed load acting on a semi-infinite axisymmetricalmedium have been presented with and without infinite elements. The resultshave been compared with the exact solution by Boussinesq. Secondly, a square plateloading on the axi-symmetric half space has been analyzed by using solid finite and 3-Ddynamic infinite elements. Thirdly, the calculation of the vertical vibration of a squarerigid plate resting on a semi-infinite half-space has been given. Finally, for the Boussinesqproblem, a sensitivity analysis is performed using not only various mesh sizes but alsosprings all along the truncated boundaries and the results are compared. It is amplydemonstrated that the use of infinite elements provides unprecedented high degree ofaccuracy.