Öklidyen 4-uzayda quasi çatılı eğriler

Abstract

3-boyutlu Öklid uzayında uzay eğrileri için Frenet çatısı, Bishop çatı ve paralelöteleme çatısı üzerine çalışmalar yapılmıştır. Bunlara ilave olarak 3-boyutlu Öklid uzayındaquasi çatı tanımlanmıştır. 4-boyutlu Öklid uzayında Frenet çatısı, Bishop çatı ve paralelöteleme çatısı tanıtılmış ve 4-boyutlu Öklid uzayında kullanılacak olan quasi çatılı bir uzayeğrisi hakkında bilgi verilmiştir. Quasi çatıyı kullanmaktaki asıl amaç bu çatının Frenetçatısına ve bilinen diğer çatılara göre daha genel olması ve alınan bir uzay eğrisinin ikincimertebeden türevinin olmadığı durumlarda dahi quasi çatı ile hesaplamalarınyapılabilmesidir. Quasi çatı bilinen diğer çatılarla aynı doğruluğa sahiptir. Bu çatının diğerbir önemli özelliği ise bir uzay eğrisi boyunca hesaplanan çatı vektörlerinin teğet etrafındakigereksiz bükülmelerini ve dönmelerini engellemesidir. Verilen uzay eğrisinin quasi çatısıiçin öncelikle quasi-normal vektörü bir Öklid açısı kadar dönerek teğet vektör ve k izdüşümvektörüne dik bir birim vektör olarak verilir. Sonrasında bu vektörler yardımıyla birim hızlıteğet vektör, quasi-normal vektör ve quasi-binormal vektör ile quasi çatısı oluşturulur.4-boyutlu Öklid uzayında bir uzay eğrisi, örneğin xy-düzlemindeki izdüşüm vektörleri kxve ky için birim vektörler t teğet, nq quasi-normal, bq1 birinci quasi-binormal ve bq2 iseikinci quasi-binormal kullanılarak quasi çatısı ve quasi eğrilikleri bulunmuştur. Bulunan buquasi eğrilikleri kx ve ky izdüşüm vektörlerine bağlı olarak elde edilmiştir. 4-boyutlu Ökliduzayında bir uzay eğrisinin quasi eğriliklerinin eşitleri eğrinin üçüncü mertebeye kadar olantürevleri ile kx ve ky izdüşüm vektörleri yardımıyla hesaplanmıştır. Ayrıca E4 uzayındaquasi çatıya göre Bertrand ve Mannheim eğrileri incelenmiştir. Bulunan bu hesapların dahaanlaşılabilir olması adına 4-boyutlu Öklid uzayında bir uzay eğrisi için quasi çatı ve quasieğriliklerinin elde edildiği örnekler yapılmıştır.

Frenet frame, Bishop frame and parallel translational frame for space curves in E3space have been studied. In addition to these, quasi frame is defined in 3-dimensionalEuclidean space. In E4, the Frenet frame, Bishop frame and parallel translation frame areintroduced and information is given about a space curve with a quasi frame in E4 space tobe used in this paper. The mean using the quasi frame is that this frame is more general thanthe Frenet frame and other known frames and calculations can be made with the quasi framein cases where there is no second-order derivative of a space curve. The quasi frame has thesame accuracy as other known frames. Another important feature of this frame is that itprevents unnecessary twists and turns around the tangent of the frame vectors calculatedalong a space curve. The quasi frame of a given space curve is rotated by a Euclidean angleand firstly the quasi-normal vector is given as a unit vector perpendicular to the tangentvector and the projection vector k. Then, the quasi frame is formed by the tangent vector,the quasi-normal vector, and the unit quasi-binormal vector. For a space curve in E4 space,for example, kx and ky projection vectors in the xy -plane, t is the unit tangent, nq is theunit quasi-normal, bq1 is the first unit quasi-binormal and bq2 is the second unitquasi-binormal to find the quasi frame and quasi curvatures. These quasi curvatures areobtained depending on the projection vectors kx and ky. Equivalents of the quasi curvaturesof a space curve in E4 space are calculated with the help of the derivatives of the curve up tothe third order and the projection vectors kx and ky. In E4 space, Bertrand and Mannheimcurves according to the quasi frame were also analysed. In order to make these calculationsmore comprehensible, an example is made in which quasi frames and quasi curvatures areobtained for a space curve in 4-dimensional Euclidean space.