R-cebiroid çaprazlanmış modülleri üzerine

Abstract

Grup teorisi alanında, bir grubun başka bir gruba olan etkisi otomorfizma grubutarafından belirlenir. Bir grup A'nın bir grup B üzerindeki etkisi, homomorfizma A →Aut(B) tarafından verilir. Bir grup A ve bir grup B'nin herhangi bir uzantısı da birhomomorfizma A → Aut(B) ile ilişkilidir. Cebir durumunda, bir cebirin başka bir cebirüzerindeki etkisi çarpım cebiriyle ilişkilidir. Cebirsel genişlemede, dış çarpım gerçekleşir.Çarpım cebiri kavramı, Maclane S. tarafından tanımlanmıştır (Lane, 1958). (Arvasi ve Ege,2003)'de, çarpım cebirlerini kullanarak, Ege U. ve Arvasi Z., komütatif cebirlerin aktörçaprazlanmış modüllerini tanıtmış ve komütatif cebirlerin bazı yönlerini çaprazlanmışmodüllerin komütatif cebirlerine genelleştirmek için kullanmışlardır. R-cebiroidler özellikleMitchell tarafından (Mitchell, 1972), (Mitchell, 1978), (Mitchell, 1985) ve Amgotttarafından (Amgott, 1986) incelenmiştir. Mitchell R-cebiroidlerin kategorik bir tanımınıvermiştir. Öte yandan Mosa, R-cebiroidlerin çaprazlanmış modüllerini tanıtmıştır (Mosa,1986). Ardından Akca I.I. ve Avcıoğlu O., R-cebiroidlerin çaprazlanmış modüllerini(Avcıoglu, 2017), (Avcıoglu O., 2018a), (Avcıoglu O., 2017a), (Avcıoglu O., 2017b) ve(Avcıoglu O., 2017c)'de çalışmışlardır.Lavendhomme ve Lucas, bileşik çarpan cebiri kavramı ile çaprazlanmış modülyapısı arasındaki ilişkiyi çalışmışlardır. Bu çalışmada ise, R-cebiroid çaprazlanmışmodülünün (M, A, η) bileşik çarpanlarını tanımlanacak ve R-cebiroid çaprazlanmışmodülünün bileşik çarpanlarının kümesini Bim(M, A, η) ile gösterilecektir. Ardından, bukümenin bir R-cebiroid olduğu kanıtlanacaktır. R-cebiroid çaprazlanmışlanmış modülmorfizmalarının homotopisi Avcıoğlu (Avcıoglu, 2017) tarafından tanımlanmıştır. BuradaR-cebiroid çaprazlanmış modül bileşik çarpanlarının homotopisi tanımlanacak veR-cebiroid çaprazlanmış modül bileşik çarpanlarının homotopilerinin kümesi U∗(A, M) ilegösterilecektir. Ardından, bu kümenin bir R-cebiroid olduğu kanıtlanacaktır. Ek olarak,U∗(A, M) ve Bim(M, A, η) kullanılarak yeni bir çaprazlanmış modül(U∗(A, M), Bim(M, A, η), α) elde edilecektir. Bu çaprazlanmış modül, (M, A, η)çaprazlanmış modülünün A(M, A, η) ile gösterilen aktörünü temsil eder. Böylece, birR-cebiroid çaprazlanmış modülünün kendi üzerindeki etkisi, çaprazlanmış modül morfizmi(M, A, η) → A(M, A, η) tarafından verilecektir.Anahtar Kelimeler: R-cebiroid, R-cebiroid çaprazlanmışlanmış modülleri, Kesitler

In group theory, it is well known that the action of a group on another group isdetermined by the automorphism group. The action of a group A on a group B is given bythe homomorphism A −→ Aut(B) . Any extension of group A and group B is also relatedto a homomorphism A −→ Aut(B). In algebra case, the action of an algebra on another isrelated to the multiplication algebra. In algebraic extension, the outher product takes place.The concept of multiplication algebra is defined by Maclane S. (Lane, 1958). In (Arvasi veEge, 2003), using multiplication algebras, Ege U. and Arvasi Z., introduce actor crossedmodules of commutative algebras and use it to generalise some aspects from commutativealgebras to crossed modules of commutative algebras. R-algebroids were especially studiedby Mitchell in (Mitchell, 1972), (Mitchell, 1978), (Mitchell, 1985) and by Amgott in(Amgott, 1986). Mitchell gave a categorical definition of R-algebroids. Mosa on the otherhand, introduced crossed modules of R-algebroids and proved their equivalence to specialdouble algebroids with connections in (Mosa, 1986). Then Akca İ.İ. and Avcıoğlu O.studied on crossed modules of R-algebroids in (Avcıoglu, 2017), (Avcıoglu O., 2018a),(Avcıoglu O., 2017a), (Avcıoglu O., 2017b) and (Avcıoglu O., 2017c).Lavendhomme and Lucas discussed the relationship between the concept ofbimultiplication algebra and the crossed module structure in their work. In this study, wewill define bimultipliers of an R-Algebroid crossed module (M, A, η) and will denote theset of bimultipliers of an R-Algebroid crossed module (M, A, η) with Bim(M, A, η). Thenwe will prove that this set is an R-Algebroid. Homotopy between R-Algebroid crossedmodule morphisms was defined by Avcıoğlu (Avcıoglu, 2017). We will define thehomotopy of bimultipliers of R-Algebroid crossed modules and we will denote the set ofhomotopies of bimultipliers of R-Algebroid crossed module with U∗(A, M). Then we willprove that the set U∗(A, M) is an R-Algebroid. Additionally, we will obtain a new crossedmodule (U∗(A, M), Bim(M, A, η), α) by using U∗(A, M) and Bim(M, A, η). Thiscrossed module represent the actor of the croseed module (M, A, η) denoted withA(M, A, η) Thus, the action of an R-Cebiroid crossed module on itself will be given by thecrossed module morphism (M, A, η) → A(M, A, η).Keywords: R-algebroid, Crossed module of R-algebroids, Sections