Ikinci tür lineer fredholm-stieltjes integral denklemlerinin orta nokta metodu ile yaklaşık çözümü

Abstract

Uygulamalı matematik, fizik, mühendislik ve matematiğin bir çok alanında problemleri modellemede aranan fonksiyon integralin içinde karĢımıza çıkabilmektedir. Eğer bir denklemde aranan fonksiyon integralin içinde de olursa bu tür denklemlere integral denklemleri denir. Tabiattaki olayların birçoğu ve herhangi sürekli olaylar diferansiyel denklemlerin yardımıyla modellenebilemektedir. Fakat, diferansiyel denklemler tek baĢına bir problemi tanımlamaya yetmeyebilir. Bu denklemlerin yanına bir de sınır Ģartları da eklenerek tanımlanır. Bunun aksine integral denklemleri ise bir problemi tek baĢına tanımlamaya yeter. Ġntegral denklemlerinin çözümlerinin varlığının ve tekliğinin ispatı mümkün olduğundan, bir çok diferansiyel denklem de integral denklemlerine çevirilerek çözümünün varlığı ve tekliği ispatlanmakta ve çözülmektedir.Ġntegral denklemlerini tek bir kalıpta göstermek mümkün olmadığından, her bir türü ayrı ayrı incelenmektedir. Bu denklemler integralin sınır noktalarına göre, integralin içeriğine göre, aranan fonksiyonun derecesine göre, integral içindeki çekirdeğin özelliğine göre bir kaç türe bölmek mümkündür. Biz bu tezde özellikle ikinci tür doğrusal Fredholm – Stieltjes integral denklemlerini ele alacağız.Genellikle integral denklemlerindeki integralin normal analitik metodlarla çözümü zor olduğundan yaklaĢık metodlarla çözülmektedir. Bu yaklaĢık metodlardan biri olan orta nokta yaklaĢık metodunu bu tür integral denklemleri için kullanacağız ve hata analizi yapacağız. ġu ana kadar ikinci tür Fredholm integral denklemlerini orta nokta veya diğer yaklaĢık metodlarla çözümleri mevcuttur. Ama ikinci tür doğrusal Fredholm – Stieltjes integral denklemlerinin sadece yamuk sayısal metodu ile yaklaĢık çözümü yapıldığını gördük. Bu tür integral denklemlerinin orta nokta metodu ile yaklaĢık viçözümünün olmayıĢı bizi bu iĢe ayrıca motive etti denilebilir. Ayrıca orta noktametodunun hata analizini yapabilmek için sadece içindeki fonksiyonun ikinci derecedentürevlenebilir olması da bizim bu metodu seçmemizde büyük rol oynadı. ġimdi dahadetaylıca bu orta nokta metodunu ikinci tür doğrusal Fredholm – Stieltjes integraldenklemlerinin yaklaĢık çözümüne, çözümün varlığı ve tekliği için gerekli ve yeterliĢartlara ve son olarak ta hata payına bir göz atalım.AĢağıdaki ikinci tür doğrusal Fredholm – Stieltjes integral denklemini ele alalım( ) ( , ) ( ) ( ) ( ), , bau x K x s u s dg s f x x a b (I)burada K(x, s)Ca,ba,b , g(y) fonksiyonu verilen a,b kapalı aralığında sınırlıvaryasyon, f (x) verilen fonsiyon ve u(x) bilinmeyen ve aranan fonsiyondur. Sınırlıvaryasyon olan g(s) fonksiyonu verilen a,b kapalı aralığında iki tane kesin artan vesürekli (s), (s) fonsiyonlarının farkı Ģeklinde yazılırsa aĢağıdaki denklemi eldeederiz( ) ( , ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )bab ba aI IIu x K x s u s dg s f xK x s u s d s K x s u s d s f x (II)(II).denklemdeki I ve II integralleri orta nokta metodu ile yaklaĢık hesaplarsak * *2 1 2 1 2 2 21** **2 1 2 1 2 2 21( ) ( , ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )ni i i iini i i iiu x K x x u x x xK x x u x x x f x (III)denklemini elde ederiz. Burada her bir i 1,2,3,...,n için 2 2 i x a ih , orta noktalar*2 j 1 x ve **2 j 1 x aĢağıdaki gibi tanımlanır* 1 2 2 22 1( ) ( )2i iix xx ve** 1 2 2 22 1( ) ( )2i iix xx her bir i 1,2,3,...,niçin, u(x) ise yukarıdaki (II).denklemin yaklaĢık çözümü olsun. ġimdi ise(III).denklemde х 'in yerine orta noktalar yerleĢtirilirse 2n2n doğrusal denklemsistemi elde edilir. vii* * * * ** *2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1** ** * ** ** **2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nj i j i i j i ji in nj i j i i j i ji iu x A x u x B x u x f xu x A x u x B x u x f x (IV)burada * **2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( ) , ( ) ( , ) ( ) ( ) i i A x K x x x i x i Bi x K x x i x i x i .Yada matris türünde yazılacak olursa* * * *2 1 2 1 2 1 2 1** ** ** **2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )i j i j j ji j i j j jA U FA x B x u x f xIA x B x u x f x (V)ġimdi ise bu doğrusal denklem sisteminin çözülebilir olması için yeterli Ģartın aĢağıdakigibi olması gerektiği tespit edildi , ,1sup ,x s a bK x s b a b a (VI)Yukarıdaki (VI). Ģart sağlandığında (V).sistemin ve dolaysıyla (I).integral denklemininçözümünün varlığı ve tekliği sağlanmıĢ olur. (V).matris denklemi çözülüp, çözümütekrar (III).denklemde yerine konulduğunda1 1( ) ( ) ( ) ( )n ni i n i ii iu x U A x U B x f x (VII)yaklaĢık çözümü elde edilir.Hata analizi için de (II).denklemde I ve II integralleri hata paylarıyla beraber alırsak * *2 1 2 1 2 2 21** **2 1 2 1 2 2 21( ) ( , ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )ni i i iini i i iiu x K x x u x x xK x x u x x x f x E x h (VIII)denklemini elde ederiz. ġimdi (III). ve (VIII).denklemlerin mutlak farkınıv(x) u(x) u(x) diye alırsak, ve ,sup ,x a bE x h E h alırsak, aĢağıdaki integraldenklemini elde ederiz * *2 1 2 1 2 2 21** **2 1 2 1 2 2 21( ) ( , ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )ni i i iini i i iiv x K x x v x x xK x x v x x x E h (IX)

Дифференциальные уравнения являются одним из наиболее полезныхинструментов для моделировании различных явлений и процессов в природе. Ноиногда дифференциальными уравнениями невозможно достаточно описыватьнекоторые сложные проблемы и потребуется дополнительные условия. Однако,для описания таких задач достаточны интегральные уравнения. А также доказатьсуществование и единственность решений интегральных уравнений болееудобно, чем решений дифференциальных уравнений. Поэтому многиедифференциальные уравнения с краевыми условиями решаются путем сведения кинтегральным уравнениям. Однако, порой тяжело и даже невозможно решитьинтегральные уравнения, даже если доказано существование его решения. Втаких случаях используются приближенные методы решения. В этой диссертациипредставлено решение линейных интегральных уравнений Фредгольма –Стильтьеса второго рода: ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ), , bau x K x y u y dg y f x x a b , с помощьюприближенного метода средней точки, получены достаточные условиясуществования и единственности их решении. А также в работе представленанализ ошибок и формулы для их оценки. Все теоретические выводыпроанализированы на практике с помощью компьютерной программы Maple.Ключевые слова: интегральное уравнение, линейное интегральное уравнениеФредгольма – Стильтьеса второго рода, приближенный метод средней точки.