Фредгольм – стильтьестин II түрдөгү сызыктуу интегралдык теңдемелерин жалпыланган эйлердин методу менен жакындаштырып чыгаруу

Abstract

Математикалык эсептерде же математика колдонулган көп жерлерде берилген функциялардын туундуларын алуу же интегралдык теңдемелерди эсептөө методдору бар. Бирок бул функциялардын туундуларын алуу же болбосо интегралдык теңдемелерди эсептөө абдан татаал болгон учурлар болот, кээде болсо мүмкүн болбогон учурлар да болот. Мындай учурларда башка бир функцияга карата туунду алынганда туундулары бар экендиги көрсөтүлөт. Мындай туунду алуу Стильтьес интегралынын тескери операциясы экендиги көрсөтүлөт. Бирок бул Стильтьес интегралынын чыгарылышы ар дайым бар экендиги билинсе дагы, муну эсептөө ар дайым мүмкүн болбойт. Ошондуктан интегралдык теңдемелерди жакындаштырып эсептөө методдору колдонулат. Мисалы, Эйлер Римандын интегралын жакындаштырып эсептөө методун сунуш кылган. Ал эми сандык анализде Эйлердин бул методу Фредгольмдун II түрдөгү сызыктуу интегралдык теңдемелерин жакындаштырып чыгарууда колдонулган [11], [12], [13].Бул диссертациялык иште Фредгольм – Стильтьестин II түрдөгү сызыктуу интегралдык теңдемелерин жалпыланган Эйлердин методу менен жакындаштырып чыгаруу мүмкүн экендигин көрсөтөбүз. Албетте, жакындаштырып эсептөөнүн так чыгарылышынан айырмасы болот, ушул катасын кантип табуу жана кандай шарттар коюлуш керектиги көрсөтүлөт. Алгач, биринчи башка бир өсүүчү үзгүлтүксүз функцияга карата туунду алуунун аныктамасы жана бул туунду алуунун кээ бир теоремалары каралды [1]. Кийин, бул туунду алуунун тескери функциясы болгон Стильтьестин интегралынын теоремалары жана далилдөөлөрү көрсөтүлдү [3]. Экинчи бөлүмдө Стильтьес интегралында жалпыланган Эйлердин методунун колдонулушу көрсөтүлдү жана теоремалардын далилдөөлөрүнүн негизинде ката формуласы табылды. Үчүнчү бөлүмдө Фредгольм – Стильтьестин II түрдөгү сызыктуу интегралдык теңдемелеринин аныктамалары берилди [5], [6], [7]. Эйлер методунун аныктамасы менен бирге бул методдун жакындаштырып эсептөө методдорунан жалпыланган Эйлер методунун Фредгольм – Стилтьестин II түрдөгү сызыктуу интегралдык теңдемелерине да колдонууга болоору көрсөтүлдү.Ачкыч сөздөр: Туунду, Стильтьестин интегралы, Эйлер методу, жалпыланаган Эйлердин методу, Фредгольм – Стильтьестин II түрдөгү сызыктуу интегралдык теңдемелери.ix

Matematiksel hesapların yada Uygulamalı Matematiğin birçok bölümünde türev alma veya integral denklemlerinin hesaplamaları mevcuttur. Bunların birçoğunun türevlerinin bulunması veya integral denklemlerinin çözülmesi oldukça zordur, bazen de imkansızdır. Bu durumda böyle fonksiyonların, türevi başka bir artan ve sürekli bir fonksiyona göre alındığında, türevlenebilir olduğu görülmektedir. Bu başka bir fonksiyona göre türev alma Stieltjes'in integralidir. Birçok integral denklemlerinin çözümü Stieltjes integraliyle çıkması bu metodun önemini arzediyor. Ama bu Stieltjes integralini her zaman çözülebilir olduğu bilinse de, çözümünü bulmak zor hatta bazı durumlarda imkansız olabilir. Bu durumda sayısal yaklaşım metodlarının kullanılması kaçınılmaz oluyor. Mesela, Euler, Riemanın integralin yaklaşık hesaplama metodu ile hesaplanabilir olduğunu göstermiştir. Euler'in bu metod'u nümerik analizde Fredgolmun II.mertebedeki lineer integral denklelerini yaklaşık hesaplamalarda kullanılmıştır [11], [12], [13].Bizim çalışmada Fredgolm-Stieltjes'in II.mertebedeki lineer integral denklemlerinin yaklaşık değerini bulmada genelleştirilen Euler'in metodunun uygulanabilir olduğu görülmektedir. Sayısal yaklaşım metodu olması itibariyle, doğal olarak ortaya çıkacak hata payının hesaplanması ve koyulacak şartları da kapsamaktadır.Birinci bölümde, başka bir fonksiyona göre türevin tanımı ve bazı teoremler ele alındı [1]. Sonra bu tür türev almanın tersi olan Stieltjes integralinin teoremleri ve ispatlamaları gösterilmiştir [3]. İkinci bölümde ise, Stieltjes İntegralin genelleştirilen Euler'in metod'u ile yaklaşık hesaplamarı yapıldı ve bazı teoremlerin ispatlamalarıylahata payı bulunmuştur. Üçüncü bölümde ise, Fredgolm-Stieltjes'in II.mertebedeki lineerintegral denklemlerinin tanımı yapıldı [5], [6], [7]. Euler metodunun tanımı ve Eulermetodu Fredgolm-Stieltjes'in II.mertebedeki lineer integral denklemlerindeuygulanabilir olduğu gösterildi.Anahtar Sözcükler: Türev, Stieltjes İntegrali, Euler Metodu, Genelleştirilen Euler'inMetodu, Fredgolm-Stieltjes'in II.mertebedeki Lineer İntegrali, Sayısal YaklaşımMetodları.xi