H^+(r) hiperboloid modeli üzerindeki spirallerin geometrisi

Abstract

Bu tez çalışması 3-boyutlu Minkowski uzayında H^+(r) Hiperboloid modeli üzerinde yatan spiraller üzerine bir çalışmadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde Minkowski 3-uzayı ile ilgili gerekli temel kavramlar verilmiştir. Minkowski 3-uzayındaki vektörler, eğriler ve yüzeyler spacelike, timelike ve lightlike karakterine sahip olabilmektedir. r- yarıçaplı ve O merkezli timelike vektörlerin kümesi H^+2_0(r) ile gösterilen hiperbolik küredir. H^+2_0(r), Öklidyen anlamda iki kanatlı hiperboloid olup, H^+(r) pozitif kanadı ile gösterilir. H^+(r) spacelike yüzeyi üzerinde herhangi bir noktadaki teğet düzlem spacelike olacağından, bu yüzey üzerinde sadece spacelike eğriler mevcuttur. Böylece bu yüzey üzerindeki spiraller spacelike eğrilerdir. Bu çalışmada, öncelikle H^+(r) modeli üzerindeki spirallerin Frenet çatısı, Frenet türev formülleri, ani dönme vektörü hesaplanmıştır. İkinci olarak, bu eğrilerin Darboux çatısı, Darboux türev formülleri ve Darboux ani dönme vektörü elde edilmiştir. Frenet ve Darboux çatısı arasındaki ilişki incelenmiştir. Son olarak, eğrinin diferansiyel geometrik özellikleri incelenmiş ve Maple programı ile grafikleri çizilmiştir.

This thesis is a study on spirals on the Hyperboloid model H^+(r) in 3-dimensional Minkowski space. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, some necessary basic concepts about Minkowski 3-space are given. Vectors, curves and surfaces in Minkowski 3-space may have spacelike, timelike and lightlike characters. The set of timelike vectors r- radius and with center O is the hyperbolic sphere H^+2_0(r). In Euclidean case, H^+2_0(r) is a hyperboloid of two sheets and its positive side is denoted with H^+(r). Since tangent plane at any point on the spacelike surface H^+(r) is spacelike, only spacelike curves exist on this surface. Therefore, the spirals on this surface are spacelike curves. In this study, firstly, the Frenet frame, the Frenet derivative formulas, and the instantaneous rotation vector of the spirals on the H^+(r) model were calculated. Secondly, the Darboux frame, the Darboux derivative formulas and the Darboux instantaneous rotation vector of these curves are obtained. The relationship between the Frenet and Darboux frames is investigated. Finally, the differential geometric properties of the curve were investigated and their graphs were drawn with the Maple program.