Singüler pertürbe özellikli gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemler için düzgün yakınsak fark şemaları

Abstract

Bu tez çalışmasında, birinci mertebeden singüler pertürbe özellikli gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri ele alınmıştır. Tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde singüler pertürbasyon teorisi, integro-diferansiyel denklemlerin tarihçesi ve uygulama alanlarından bahsedilmiştir. İkinci bölümde, literatür araştırmasına yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, tezde kullanılacak temel tanım ve formüllere yer verilmiştir. Dördüncü bölümde ilk olarak, lineer ve lineer olmayan singüler pertürbe özellikli gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemler için başlangıç değer problemleri ele alınmıştır. Düzgün şebekede üstel katsayılı fark şemaları ayrı ayrı kurulmuştur. İkinci olarak, lineer singüler pertürbe özellikli gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemin nümerik çözümü için parçalı düzgün şebeke olan Shishkin şebekede üstel katsayılı sonlu fark şeması kurulmuştur. Üçüncü olarak, ilk önce lineer singüler pertürbe özellikli Volterra integro-diferansiyel denklemin nümerik çözümü için parçalı düzgün şebekede üstel katsayılı sonlu fark şeması kurulmuştur. Son olarak, lineer singüler pertürbe özellikli gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemin nümerik çözümü için parçalı düzgün şebekede homojen tipli sonlu fark şeması kurulmuştur. Ele alınan sürekli problemlerin özellikleri verilmiş, kalan terimi integral şeklinde olan ve üstel katsayılı baz fonksiyonları içeren interpolasyon kuadratür formüllerinden yararlanılmıştır. Her bir problemin yaklaşık çözümünün kesin çözüme ayrık maksimum normda epsilon-pertürbasyon parametresine göre düzgün yakınsak olduğu gösterilmiş ve yakınsama hızları belirlenmiştir. Elde edilen sonuçlar nümerik örneklerle desteklenmiştir.

In this thesis, numerical solutions of first order singularly perturbed Volterra delay-integro-differential equations are considered. This thesis study consists of five main sections. In the first section, singular perturbation theory, the history of integro-differential equations and their application fields are mentioned. Literatures are given in the second section. Some basic definitions and formulas used in this study are given in the third section. In the fourth section of this study, first, initial value problems for the first order linear and nonlinear singularly perturbed Volterra delay-integro-differential equations are discussed. Exponential fitted difference schemes are constructed for these problems on a uniform mesh separately. Second, a finite difference scheme on a piecewise uniform mesh (Shishkin mesh) to solve a singularly perturbed initial value problem for a linear first order Volterra integro-differential equation with delay is presented. Later, a fitted finite difference scheme on the piecewise uniform mesh for the numerical solution of the first order linear singularly perturbed Volterra integro-differential equation is proposed. In the end, a homogeneous (nonhybrid) type difference scheme on the piecewise uniform mesh for numerical solutions of the first order singularly perturbed Volterra delay-integro-differential equation is introduced. For these presented problems, the properties of continuous problems are given and the difference schemes are constructed by the method of integral identities with the use of exponential basis functions and interpolating quadrature rules with the weight and remainder terms in integral form. It has been shown that the approximate solutions are uniformly convergent according to epsilon-parameter to the exact solution in the discrete maximum norm and the rates of convergence are specified. The obtained results are supported by numerical examples.