Newtonyen olmayan analizde bazı konvekslik çeşitleri ve Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler

Abstract

1600-1700 yılları arası matematikte önemli gelişmelerin olduğu bir dönemdir.Bu dönemin en önemli gelişmelerinden biri Newton (1643-1727) ve Leibniz (1646-1716) 'in birbirlerinden bağımsız olarak, türev ile integral arasındaki ilişkiyibulmalarıdır. Bunun bir sonucu olarak, ` İntegral Kalkülüs` kavramı önemkazanmıştır. Bu gelişmeler matematiğin önünü açmış ve ilerlemesini sağlamıştır.1970 li yıllarda Grosmann ve Katz, Newton ve Leibniz'in kurduğu klasikanalize bir alternatif olarak, temelinde bire-bir ve örten olan üreteçler yardımıyla yenibir analiz inşa etmişlerdir. Bu analize `'Newtonyen Olmayan Analiz` denir.Bu tezde, ilk olarak klasik analizde eşitsizlik teorisinde iyi bilinen ? fonksiyon,birinci anlamda ? konveks, ikinci anlamda ? konveks, ? konveks, ℎ konveks, harmonikkonveks ve geometrik konveks fonksiyonlar Newtonyen olmayan analize göre yenidentanımlanmıştır. İkinci olarak, bu konveks fonksiyonlar yardımıyla Hermite-Hadamardeşitsizliği Newtonyen olmayan analizde elde edilmiştir. Üçüncü olarak, tanım ve değerkümesindeki üreteçler uygun koşullar altında birim, üstel ve ?? olarak seçildiğinde ilkönce klasik anlamdaki hallerine sonra ise H-A konveks, H-H konkav, A-H konveks ver-konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliğine indirgendiği ispatedilmiştir. Son olarak, Newtonyen olmayan analizde eşitsizliklerle elde edilenteoremlerin uygun üreteçler altında klasik anlamda bilinen teorem ve sonuçlara denkgeldiği görülmüştür. Sonuç olarak, Newtonyen Olmayan (N-N) Analiz' de elde edilentanım, lemma, teorem ve sonuçlar özel halde klasik anlamdaki durumunadönüşmektedir.

Between the years 1600-1700 is a period of important developments inmathematics. One of the most important developments of this period is that Newton(1643-1727) and Leibniz (1646-1716) independently found the relationship betweenderivative and integral. As a result of this, the concept of `Integral Calculus` hasgained importance. These developments paved the way for mathematics and made itprogress.In the 1970s, Grosmann and Katz constructed a new analysis with the help ofone-to-one and covering generators as an alternative to the classical analysisestablished by Newton and Leibniz. This analysis is called `Non-NewtonianAnalysis`.In this thesis, firstly, the P function, which is well known in classical analysisin inequality theory, s convex in the first sense, s convex in the second sense, J convex,h convex, harmonic convex and geometric convex functions are redefined accordingto non-Newtonian analysis. Secondly, with the help of these convex functions, theHermite-Hadamard inequality is obtained in non-Newtonian analysis. Thirdly, it hasbeen proven that when the generators in the definition and value set are selected asunit, exponential and ?? under appropriate conditions, they are first reduced to theirclassical form and then to the Hermite-Hadamard inequality for H-A convex, H-Hconcave, A-H convex and r-convex functions. Finally, it has been seen that theoremsobtained with inequalities in non-Newtonian analysis correspond to theorems andresults known in the classical sense under appropriate generators. As a result, thedefinitions, lemmas, theorems, and results obtained in Non-Newtonian (N-N) Analysisturn into their classical meaning in appropriate generators.