Sabit basınçlı izentropik gazların hareketini modelleyen denklemler sisteminin süreksiz fonksiyonlar sınıfında nümerik çözümleri

Abstract

Yedi bölümden oluşan tezin giriş kısmında gaz dinamiği denklemleri ele alınmış ve bunun için gereken kavramlar verilmiştir.Birinci bölümde, birinci basamaktan kısmi türevli hiperbolik tür diferansiyel denklemlerin gerçek çözümünü elde etmek için karakteristikler yöntemi incelenmiştir. Karakteristikler yöntemini kullanarak sabit basınçlı, izontropik gazın hareketini ifade eden kısmi türevli diferansiyel denklem sisteminin gerçek çözümü ele alınmıştır. Bunun için özel yapıya sahip yardımcı problem önerilmiş ve söz konusu yardımcı problemin özellikleri kullanılarak esas problemin gerçek çözümü daha sade bir yolla elde edilmiştir.Karakteristikler yöntemiyle bulunan çözümler genelde kapalı fonksiyon şeklinde elde edilir ve bu nedenle, söz konusu çözümler çoğu zaman pratik amaçlar için kullanılamaz.Bunun için problemin sayısal çözümünün ele alınması problemi ortaya çıkar. Söz konusu denklemler sisteminin sayısal çözümünü ele alırken ise çözümün yüksek mertebeden diferansiyellenebilir olması gerekmektedir.Lakin, literatürden bilindiği gibi, nonlineer hiperbolik tür denklemlerin çözümleri başlangıç profili sürekli olduğu halde bile, yeri önceden bilinmeyen süreksizlik noktalarına sahiptirler.Süreksiz fonksiyonlarda diferansiyel denklemin klasik anlamda çözümü olmadığı için tezde gaz dinamiği denklemler sisteminin zayıf çözüm kavramı içerilmiş ve zayıf çözümün ele alınması için özel yapıya sahip yardımcı problem önerilmiştir.Önerilen yardımcı problemin çözümünün diferansiyellenebilme özelliği esas problemin diferansiyellenebilme özelliğinden bir mertebe fazla olduğundan, yardımcı problem üzerinde sonlu farklar yöntemi kullanılarak, sade ve efektif algoritmalarla nümerik çözüm elde edilmiştir.

In this work, the method of characteristics for obtaining the exact solution of the first order partial equation of a hyperbolic type is investigated. Modifying the method of characteristics, the exact solution of system equations which describe unsteady one-dimensional isentropic flow is found too. For this aim a special auxiliary problem has been included, and using some advantages of the auxiliary problem, the exact solution of the problem of interest has been easily obtained.It is known that the method of characteristics permits to express a solution in an implicit form. But often it is impossible to use this formula for practical purposes. Therefore, a necessity arises to develop a numerical method for solving the Cauchy or initial-boundary value problem for the first-order nonlinear partial differential equations. In order to approximate a first-order partial differential equation by finite difference, a higher smoothness then the solution is required. But, it is known that the solution of the Cauchy problem for the first-order nonlinear equation has the points of discontinuities even if the initial function is sufficiently smooth .Since a discontinuous function does not satisfy a differential equation in a classical sense, it is necessary to introduce the concept of a weak solution. In order to find the weak solution, the special auxiliary problem is introduced, since it has some advantages over the main problem and permits to obtain the solution in a class of discontinuous functions. Using the advantages of the auxiliary problem some numerical algorithms are suggested.