Adi diferansiyel denklemlerin çözümü için rezidü yöntemi

Abstract

Üç bölümden oluşan tezde, lineer diferansiyel operatörler ve onların oluşturduğulineer diferansiyel denklemler için genel şekilde yazılmış sınır değer probleminin cebirselyapısı detaylı şekilde incelenmiştir. Bu amaçla genel şekilde yazılmış lineer diferansiyel ifadeve operatörler için Lagrange anlamında adjoint diferansiyel ifade ve adjoint sınır koşulları daincelenmiştir. Bunun yanı sıra lineer diferansiyel operatörlerin özdeğerleri ve özfonksiyonlarıda kapsamlı şekilde ele alınmış ve onların bazı özellikleri araştırılmıştır. Ayrıca tezde, lineerdiferansiyel ifade ve operatörler için Green fonksiyonu kullanılarak, adi lineer diferansiyeloperatörler için ters operatörün kurulmasına da yer verilmiştir.Bu tür araştırmalar, lineer kısmi türevli diferansiyel denklemler için yazılmış sınırdeğer problemlerinin çözümünü Fourier yöntemi ile aldığımızda ve çözümündoğrulanmasında önem kazanmaktadır. Bilindiği gibi, spektral problemin özdeğerleri katlıolduğu durumda bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar tam ve ortonormal sistemoluşturmazlar ve böyle durumlar için Fourier yönteminin uygulanmasında bazı zorluklarlakarşılaşılır.Bu nedenle, tezin üçüncü bölümünde sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemler içinyazılmış sınır değer probleminin çözümü rezidü yöntemiyle incelenmiş ve ele alınmıştır.İncelenmiş olan rezidü yöntemi self adjoint olmayan ve katlı özdeğerlere sahip sınır değerproblemleri için de geçerli olmaktadır.Son bölümde, özel olarak ikinci mertebeden sabit katsayılı homojen olmayan denklemiçin yazılmış sınır değer problemi hem sabitin varyasyonu hem de rezidü yöntemleri ileçözülmüştür.

In this thesis the algebraic structure of the boundary value problem for lineardifferential equations in general form is comprehensively investigated. The properties oflinear differential operators generated by the problem have also been studied. For this aim, atfirst the adjoint differential expression in Lagrange?s sense is written and the adjointboundary conditions are examined. Moreover, the eigenvalues and eigenfunctions of thelinear differential operators and of some properties have been studied. Later, the Green?sfunction of the boundary value problem for a linear differential equations has been obtained.By using the Green?s function, the concept of the inverse operator has been given, too.The results of the above investigated subjects are used for both solving the boundary valueproblem of linear differential equations when Fourier?s method is applied and verifying theobtained solution.It is known that if the eigenvalues are the higher order poles of the solution,corresponding eigenfunctions are not orthonormal and the problem of expansion of anyfunction over these eigenfunctions is open. In this case, the application of Fourier?s methodis impossible instead, the residue method for the boundary value problem of a lineardifferential equation with constant coefficients has been investigated. The residue method canbe applied when the differential operator generated by the corresponding problem is not selfadjoint.Finally, using the residue method, some boundary value problems of the second orderlinear differential equations with constant coefficients have been solved.