Lineer ısı denklemi için adjoint olmayan başlangıç-sınır değer probleminin rezidü yöntemi ile çözümü

Abstract

Fourier serisi metodu lineer ısı denkleminin çözülmesi için en önemli metotlardan birisidir. Bilindiği gibi karışık self-adjoint probleme karşılık gelen spektral problemin özdeğerleri ve bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar tam sistem oluşturmaktadır. Bu durumda herhangi bir sürekli fonksiyonun söz konusu özfonksiyonlar sistemine göre seri ayrılış formülleri geçerlidir. Bu da Fourier serisi metodunun uygulanabilmesinin temelini oluşturmaktadır.Pratikte, self-adjoint olmayan sınır koşullu diferansiyel denklemlerle ifade edilen bir çok problem vardır. Bu durumda özfonksiyonlar tam sistem oluşturmaz ve Fourier yönteminin uygulanmasında zorluklar ortaya çıkar.Tezde singüler kaynak fonksiyonlarına sahip lineer ısı denklemi için yüksek mertebeden türev içeren sınır koşulu karışık problemin çözümü incelenmiştir.Tezin ikinci bölümünde diferansiyel operatörler teorisinden gereken alt yapı verilmiştir.Son bölümde ise incelenen problemin gerçek çözümü sırasıyla Fourier ve rezidü yöntemleri yardımıyla elde edilmiştir.

The Fourier series method is one of the basic tools for a solution of the linear heat equation. As known, the spectral problem related with a mixed self-adjoint problem has real eigenvalues, and corresponding eigenfunctions of these eigenvalues make a complete system. In this case, the expansion formula of any continuous function of these eigenfunctions holds, that is fundamental in the application of the Fourier series method.There are many problems which described by differential equations with non self-adjoint boundary conditions. In this case, the eigenfunctions are incomplete and the application of the Fourier method becomes difficult.In the thesis, the linear heat equation with a singular source function subject to boundary condition involving the higher derivatives with respect to time coordinate is studied.In the second section, the necessary mathematical backgrounds from a spectral theory of differential operators are introduced.In the final section, the solution of the mentioned problem is found using the Fourier and Residue methods, respectively.