Serbest sınırlı bölgelerde sınır değer problemi

Abstract

Tezde serbest sınıra sahip bölgede nonlineer ısı denkleminin genelleştirilmiş fonksiyonlar sınıfında gerçek ve sayısal çözümleri incelenmiştirTezin ilk bölümünde adi diferansiyel denklemler için Green fonksiyonu irdelenmiştir.İkinci bölümde Green fonksiyonunu kullanılarak hareket eden ve bilinen sınıra sahip bölgede lineer ısı denklemi için yazılmış birinci sınır değer probleminin çözümü bulunmuştur.Sonuncu bölümde ise sıfır başlangıç koşullu nonlineer ısı denklemi sağ yarım eksende incelenmiştir. Problemin koşan dalga şeklinde çözümü elde edilmiş ve çözümün diferansiyellenebilme özellikleri incelenmiştir. Gösterilmiştir ki, çözüm hareket eden, fakat bilinmeyen ön cephe noktalarında dejenere olur.Bilinmeyen ön cephe ile birlikte zayıf çözümün bulunması için bazı avantajlara sahip yardımcı problem önerilmiştir. Yardımcı problemi kullanarak problemin zayıf çözümü elde edilmiştir. Ayrıca yardımcı problemin avantajlarını kullanarak zayıf çözümün bulunması için etkin nümerik algoritmalar da önerilmiştir.

In this thesis, the exact and numerical solutions of the nonlinear heat equation in a free boundary domain is investigated.In the first section, the Green?s function for ordinary differential equations is analyzed.In the second section, using the Green?s function the solution of the linear heat equation in domain with given and moving boundary is obtained.In the last section, the nonlinear heat equation with zero initial condition in right half space is investigated. The solution in the form traveling wave is found and the differentiable properties of the problem is also analyzed. It is shown that the solution of this problem on the moving boundary which is unknown beforehand is degenerated.In order to find both the weak solution and unknown front, the auxiliary problem which has some advantages over the main problem is introduced. The weak solution of the problem is obtained by referring to the auxiliary problem. Using the advantages of this auxiliary problem the essential algorithms for obtaining the numerical solution are also suggested.