Radikaller ve aralarındaki ilişki

Abstract

81 ÖZET Matematikçiler bütün halkaları sınıflandırmak ve kategorize etmek isterler, bu geniş soyut matematik sistemler hakkında bir şeyler söylemek isterler. Bu çok zor bir iştir. Ancak 1908 de J.H. Wedderburn bir yöntem önermiş ve bu yöntemin sonlu-boyutlu cebirde geçerli olduğunu göstermiştir. Onun yöntemi cebirsel yapının sonlu belirli bir bölümünü çıkartmak ve kalan bölümünü matrisler gibi iyi bilinen kavramlara dayanarak tanımlamaktı. Cebirsel yapının çıkartılan bu bölümüne radikal adı verilir. 1930'larda Wedderburn yöntemini geliştirdi ve azalan zincir koşullu halkaları sınıflandırdı. 1940'larda halkaların zincir koşulu olmadan sınıflandırılmasına çalışıldı, ilk olarak 1950'lerde Jacobson, radikallerin genel teorisini geliştirdi ve 1958'de Goldie artan zincir koşulu ile ilgili enfes sonuçlar elde etti. Halen önemli rol oynayan birçok radikal vardır ve her birini detaylı olarak inceleyeceğiz: S bir halkanın sahip olduğu belirli bir özellik olsun. Eğer R halkası S özelliğine sahip ise R ye S-halka denir. Eğer J ideali bir S-halka ise R nin J idealine bir S-ideal denir. Bir halka sıfir-olmayan S-idealini kapsamıyorsa bu halkaya S-yan -basit halka denir. S bir özellik, R bir S-halka ve S bir S-ideal olsun. Aşağıdaki koşullar gerçeklenirse S özelliğine radikal özellik denir: (A) Bir S-halkasının bir homomorfik görüntüsü bir S-halkadır. (B) Her halka, halkanın diğer bütün S-ideallerini kapsayan bir S S-idealini kapsar. (C) R/S bölüm halkası S-yan-basittir. Bir R halkasının maksimal S S-idealine R nin S-radikali denir. Bir R halkasının P(R), & Baer alt radikali R nin bütün asal ideallerinin arakesitidir. Eğer R nin asal idealleri yoksa P(R)=R olur. P(R)=0 olacak biçimde bir R halkası varsa bu halkaya yan-asal halka adı verilir.82 Levitzki radikali yerel nilpotentlik notasyonu üzerine kurulmuştur. Yerel nilpotentlik bir radikal özelliktir. Bu radikal özellik Levitzki radikal adını alır. Bir R halkasının L Levitzki radikali R/P Levitzki -yan-basit olmak koşulu ile R nin bütün P asal ideallerinin arakesitine eşittir. Nil olma özelliği bir radikal özelliktir. Bir R halkasının N nil radikali, R nin bütün nü ideallerinin kümesi tarafından doğurulan idealdir. Jacobson radikali quasi-regülerlik notasyonu üzerine kurulmuştur. Quasi-regülerlik bir radikal özelliktir. Bu radikal özellik Jacobson radikali adını alır. Eğer R bir halka ise (i) J(R), R nin bütün regüler maksimal sol (sağ) ideallerinin arakesitidir; (ii) J(R), R nin bütün sol (sağ) ilkel ideallerinin arakesitidir; (iii) J(R), R nin bütün sol (sağ) quasi-regüler sol (sağ) idealini kapsayan bir sol (sağ) quasi-regüler sol (sağ) idealdir; koşullarını gerçekleyen R nin bir J (R) ideali vardır. J(R) idealine R halkasının Jacobson radikali denir. Brown-McCoy radikali G-regülerlik notasyonu üzerine kuruldu. G-regülerlik bir radikal özelliktir. Bu radikal özellik Brown-McCoy adını alır. Herhangi bir R halkasının G Brown-McCoy radikali R/M basit bir halka olacak biçimde R nin bütün M ideallerinin arakesitine eşittir. Bu radikaller arasındaki ilişki SczldHclcG biçimindedir. Bir R radikalinin kalıtsal olması için gerek ve yeter koşul herhangi bir A halkası ve A nin herhangi bir I ideali için R (I) = I r/ R (A) eşitliğinin gerçeklenmesidir. Baer alt radikali, Levitzki radikali, Nü radikali, Jacobson radikali ve Brown-McCoy radikali kalıtsaldır. Bir R halkasının kalbi, R nin bütün sıfir-olmayan ideallerinin arakesitidir. O zaman halkanın kalbi, R nin her sıfir-olmayan idealinde kapsanan bir minimal idealdir. Halkaların aşağıdaki üç koşulu sağlayan bir M ailesine halkaların özel ailesi denir: (i) M ailesindeki her halka bir asal halkadır.83 (ii) M deki bir halkanın her sıfir-olmayan ideali M ailesinde bir halkadır, (iii) Eğer A, M ailesinde herhangi bir halka ve A bir K halkasının ideali ise K/A* M ailesindedir, burada A* A mn sıfirlayıcısıdır, yani A*= { x e K: x A = Ax=0 } Herhangi bir K halkasının SM özel radikali, K/Ta M özel ailesinde bir halka olacak biçimde K nın bütün Ta ideallerinin arakesitine eşittir. Baer alt radikali, Levitzki radikali, Nil radikali, Jacobson radikali ve Brown-McCoy radikali özel radikallerdir.

84 SUMMARY Mathematicians would like to classify and categorize all rings. They would like to be able to say something about this large class of abstract mathematical systems. This is an extremely difficult question, but in 1908 J.H.Wedderburn suggested an ingenious technique and showed that it worked for finite- dimensional algebras. His method was to discard or ignore a certain part of the structure, leaving only the `well-behaved` part, and then to decribe this part in terms of well-known things, such as matrices. The part that is discarded is called the radical. During the 1930's Wedderburn's work was modernized, and rings with the descending chain condition were classified.în the early 1940's, attemps were made to classify ring without the descending chain condition. 1945 Jacobson made the major break- through in the early 1950's, the general theory of radicals way developed and, in 1958, Goldie obtained exquisite results on rings with the ascending chain condition. At present there are several radicals that play prominent roles and we shall consider each of them in some detail: Let S be a certain property that a ring may possess. We shall say that the ring R is an S - ring if it possesses the property S. An ideal J of R wil be called an S -ideal if J is an S-ring. A ring which does not contain, any non-zero S - ideals will be called S-semi- simple We shall call S a radical property if the following three conditions hold: (A) A homomorphic image of an S-ring is an S-ring. (B) Every ring contain an S -ideal S which contains every other S-ideal of the ring. (C) The factor ring R/S is S-semi-simple. The maximal S-ideal S of a ring R is called the S -radical of R. The & Baer lower radical P(R) of a ring R is the intersection of all prime ideals of R.if Rhas no prime ideals, then P(R)=R.A ring R such that P(R) =0 is said to be semiprime.85 Levitzki radical based on the notion of local nilpotency. Local nilpotence is a radical property. This property is referred to as the Levitzki radical. The L Leviztki radical of a ring R is the intersection of all the prime ideals P of R for which R/P is Levitzki semi-simple. The nil property is a radical property. N nil radical determined by the class of all nil ring. The Jacobson radical based on the notion of quasi-regularity. Quasi-regularity is a radical property. Since Jacobson developed this material, this property is referred to as the Jacobson radical. îf R is a ring, there is an ideal J (R) of R such that: (i) J(R) is the intersection of all the reguler maximal left ideals of R; (ii) J(R) is the intersection of all the left primitive ideals of R: (iii) J (R) is a left quasi-regular left ideal which contains every left quasi-regular left ideal of R; (iv) Statement (i)-(iii) are also true if `left` is replaced by `right`. The ideal J(R) is called the Jacobson radical of the ring R. Brown-McCoy radical based on the notion of G-regularity. G-regularity is a radical property. Since Brown and McCoy developed this material, this property is refferred to as the Brown-McCoy radical. G Brown-McCoy of any ring R is equal to the intersection of all ideals M of R such that R/M is simple. The radicals between them are as follows: tfckzNcJcG A radical R is hereditary if and only if, for any ideal I of any ring A the equality R(I) = In R (A) holds. The analogous condition for left ideals hold only very rarely. The Baer lower radical, the Levitzki radical, the Nil radical, the Jacobson radical and the Brown-McCoy radical are hereditary. The heart an ring R is the intersection of all non-zero ideals of R. Then the heart of the ring is a minimal ideal which is contained in every non-zero ideal of R.86 We say that a class M of rings is a special class of rings if it satisfies the following three conditions: (i) Every ring in the class M is a prime ring. (ii) Every non-zero ideal of a ring in M is itself a ring in M. (iii) if A is a ring in M, and A is an ideal of a ring K, then K/A* is in M, where A* is the annihilator of A, i.e. A* ) { x eK: x A= Ax=0} The special radical SM of any ring K is equal to the intersection of all ideals Ta of K such that K/Ta is ring in the special class M. The Baer lower radical, the Levitzki radical, the Nil radical, the Jacobson radical and the Brown -McCoy radical are special radical.