Hilbert uzaylarında bazı operatör cebirlerinin yarı basitliği

Abstract

n oz Hilber uzaylannda bir self-adjoint (veya hermitian) operatörün doğurduğu Banach cebirinin yanbasit olması biliniyor. Bu da doğal olarak, Banach uzaylannda verilmiş hermitian operatörün doğurduğu cebirin yanbasit olup-olmaması sorusunu gündeme getirir. Genelde, Banach uzaylannda verilmiş hermitian operatörler, Hilbert uzaylannda verilmiş self-adjoint operatörlerle bir çok ortak özelliklere sahiptirler. Hermitian operatörler teorisinde esas netice bu operatörlerin normu ile spektral yançapının çakışmasıdır. Banach uzaylannda verilmiş hermitian operatörle, Hilbert uzaylannda verilmiş self-adjoint operatörler arasındaki esas fark, Banach uzayındaki hermitian operatörünün doğurduğu cebirin her zaman yanbasit olamamasıdır. A.M. Sinklairin (1972) elde ettiği bir sonuca göre spektrumu sayılabilir sayıda olan bir hermitianın doğurduğu cebir yanbasittir. Biz bu çalışmada Banach uzayında ö-pozitive hermitian operatörler sınıfım tanımlıyoruz ve onların bazı özelliklerini inceliyoruz. Hilbert uzaylannda to-pozitiv hermitianlar self-adjoint operatörlerle çakışıyor. Diğer sonuçların yanı sıra, gösteriyoruz ki, ca-pozitiv hermitianın doğurduğu cebir, bir kompakt kümede sürekli fonksiyonlar cebirine izomorfdur. Elde etmiş olduğumuz ikinci esas netice, Hilbert uzayında bir normal operatöre quazibenzer bir operatörün doğurduğu cebirin yanbasit olduğunu göstermektir.

nı ABSTRACT It is well known that, the Banach algebra generated by a self-adjoint (or hermitian) operator on a Hubert space is a semi-simple. Naturally, this causes the question of whether algebra generated by Hermitian operator on Banch space is semi- simple or not. Generally, Hermitian operators on Banach spaces has many same proporties with self-adjoint operators on Hubert spaces. A basic result for Hermitian operators is that their norm and spectral radius coinside each other. A main difference between hermitian operators on Banach space and self-adjoint operators on Hubert space is that, algebra generated by hermitian operators on Banach space may be not semisimple everytime. According to the result of AM. Sinclair's (1972) study, the algebra generated by hermitian operator on Banach space with countable spectrum is semi-simple. In this thesis, firstly we define the class of (»-positive hermitian operators and investigate some properties of ©-positive hermitians. ©-positive hermitians on Hubert space coinside self-adjoint operators. In particular, we show that, the algepra generated by ©-positive hermitian is isomorpic to the algebra of continuous functions on a compact space. The second main result of this work is that, the algebra generated an operator which is quasisimilar to a normal operator, on a Hilbert space is semi-simple.