Differential quadrature method for partial differential equations
- Global styles
- Apa
- Bibtex
- Chicago Fullnote
- Help
Abstract
Bu tez çalışmasında, kısmi türevli denklemler ile tanımlanmış problemlerin diferansiyel kareleme yöntemiyle çözümleri verilmiştir. İlk üç problemin denklemleri teorik çözümleri mevcut olan Poisson, Helmholtz ve conveksiyon-difüzyon-reaksiyon denklemleri olup Dirichlet tipindeki sınır koşullarına sahiptirler. Elde edilen sonuçlar grafikler ve tablolar yardımıyla teorik çözümler ile karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Sonraki iki problemde sırasıyla zamana bağlı difüzyon ve konveksiyon-difüzyon denklemleri yine diferansiyel kareleme yöntemi ile çözülmüştür. Bu denklemler orijinal halleri ile çözülmek yerine homojen olmayan modifiye edilmiş Helmholtz denklemlerine dönüştürülmüş ve sonra diferansiyel kareleme yöntemi çözüm prosedürü uygulanmıştır. Homojen olmayan modifiye edilmiş Helmholtz denklemlerini elde etmek için önce denklemin zaman türevleri ileri sonlu farklar yöntemi kullanılarak iki zaman düzeyinde açılmıştır. Ayrıca Laplace terimleri içinde bulunan bilinmeyen fonksiyon için bir parametre yardımıyla yeni bir açılım yapılmıştır. Bunlar denklem içerisinde yerine konulup denklemler yeniden yazıldığında iteratif formda homojen olmayan modifiye edilmiş Helmholtz denklemleri elde edilmiştir. Böylece zaman türevi için farklı bir yöntem kullanmaya gerek kalmamış ve dolayısıyla sayısal kararlılık analizi yapma ihtiyacı ortadan kalkmıştır.Ayrıca bu problemlerde sınır koşulları Dirichlet ve Neumann tipinde olup Neumann tipindeki sınır koşullarının diferansiyel kareleme yöntemindeki uygulaması detaylı olarak verilmiştir. Anahtar kelimeler: Diferansiyel kareleme yöntemi, Difüzyon denklemi, Helmholtz tipindeki denklemler, Kısmi türevli denklemler, Konveksiyon-difüzyon, Konveksiyon-difüzyon-reaksiyon denklemi. In this thesis, partial differential equations are solved by using differential quadrature method. First three problems are Poisson, Helmholtz and convection-diffusion-reaction equations with the Dirichlet type boundary conditions which have the exact solutions. Obtained results are given using graphs and tables, and are compared with the exact solutions.Next two problems are time dependet diffusion and convection-diffusion equations, respectively, and these are again solved by using differential quadrature method. For these equations differential quadrature solution procedure performed after transforming the give equations into the modified Helmholtz equation. In order to obtain modified Helmholtz equation, first, time derivatives are approximated using forward difference approximation at two time levesl. Also, unknown function located in the Laplace term is approximated using a relaxation parameter. These approximations are inserted into the equations. Nonhomogeneous modified Helmholtz equations in an iterative form are obtained by rearranging the equations. Therefore, the need of another time integration scheme is eliminated, and stability problems are diminished.Also, in these problems, the boundary conditions are taken as both Dirichlet and Neumann types and the procedure for Neumann type boundary condition is explained in details.Keywords: Convection-diffusion equation, Convection-diffusion-reaction equation, Differential quadrature method, Diffusion equation, Helmholtz-type equations, Partial differential equation.
Collections