Diferansiyel denklemlere dinamik denklemler ile yaklaşım üzerine

Abstract

Diferansiyel denklemler teorisinde nümerik analiz tam çözümü analitik yollar ile mümkün olmayan bir başlangıç değer probleminin (veya sınır değer probleminin ) diskretize edilerek fark denklemlerine çevrilmesini ve iterasyonlar ile orijinal problemin yaklaşık çözümüne ulaşmayı hedefler. Burada oluşturulan iterasyonlarda yakınsaklık çok önemlidir. Bu tezde diferansiyel bir problem çözümüne zaman skalası dizisi üzerinde tanımlı dinamik denklemlerin çözümlerinin dizisi ile yaklaşmayı hedefledik. `T_n zaman skalaları dizisi T 'ye yakınsıyor ise T_n üzerinde tanımlanan dinamik denklemlerin çözümlerinin oluşturduğu diziTüzerindeki problemin çözümüne yakınsar mı? ` sorusundan yola çıkarak, bu yakınsama için en uygun topolojiyi bulmayı amaçladık. T zaman skalası, R reel sayılar kümesinin kapalı bir alt kümesi olduğundan R üzerindeki kapalı kümeler topolojilerini ele aldık. Çeşitli kapalı küme topolojilerini inceledik ve Kuratowski topolojisine göre yakınsakılığın diferansiyel problemlere dinamik problemler ile kurulmuş olan nümerik algoritmalar geliştiren türde bir yakınsakılık olduğunu gösterdik. Tezin son bölümünde çeşitli zaman skalaları dizileri üzerinde dinamik denkemler için örnekler verilmiştir.

In the theory of differeantial equations, numerical analysis aims to find the approximate solution of an initial value problem(or a boundary value problem ) whose exact solution can not be found by analitic methods by discretizing the problem and iteratively find. For these iterations the convergence has great importance.In this thesis, we aim to the solution of a differential poblem by the sequence of solutions dynamic problems defined on a sequence of time scales. Starting from the question ` If the sequence of time scales T_n converges to the time scale T, does the sequence constructed by solutions of dynamic equations on T_n converge to the solution of the dynamic equation on T ?` we aim to find the most proper topology for convergence.Since T is closed subset of real numbers, we consider the closed set topologies on R. We investigate several closed set topologies and show that Kurotowski convergence is the best option for approximating differantial problems by dynamic ones. Kurotowski convergence also extends the numerical algorithms.Finally we illustrate our results by examples of dynamic equations on several sequences of time scales.