On the generalization of metric, ultrametric and ordered fixed point theorems

Abstract

Bu tezin amacı Banach sabit nokta teoremini, ultrametrik uzay ve sıralı uzaylardaki sabit nokta teoremlerini Kuhlmann ve Kuhlmann (2015) çalışmasında ortaya atılan bir yöntem ile ele almaktır. Sözü edilen bu yöntem metrik, ultrametrik veya sıra yerine bunlarla elde edilen yuvar uzaylarını dikkate alarak ortak genel bir sabit nokta teoremi vermiştir. Altı bölümden oluşan bu tezin, birinci bölümü, giriş bölümü olup tezin içeriği hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, metrik uzaylar ve sıralı uzaylar incelenmiştir. Üçüncü bölüm Banach sabit nokta teoreminin klasik ispatına ayrılmıştır. Dördüncü bölümde, ultrametrik uzaylar ve önemli örneklerinden p-sel metrik uzayları incelenmiş olup ultrametrik sabit nokta teoremi verilmiştir. Sıralı uzaylardaki sabit nokta teoremleri beşinci bölümde ele alınmıştır. Altıncı bölümde Kuhlmann ve Kuhlmann (2015) ışığında, üzerinde çalışılan uzay ister metrik, ultrametrik isterse de sıralı bir uzay olsun, bir sabit noktanın var olabilmesi için yeterli koşullar ele alınmıştır. Son olarak, tezde ele alınan metrik ve ultrametrik teoremlerinin ve tam yarı sıralı uzaylarda ifade edilen Bourbaki-Witt teoremlerinin hipotezlerinin genel sabit nokta teoreminin hipotezlerini sağladığı gösterilmiştir.

This thesis aims to study a generalization of Banach Fixed Point Theorem in metric, ultrametric and ordered spaces following a recent paper of Kuhlmann and Kuhlmann (2015) which points out the common denominator of Banach's Fixed Point Theorem in metric, ultrametric and topological spaces. The general idea is to give a general fixed point theorem which works in all of these spaces by the structure of ball spaces and by the concept of spherical completeness. This thesis includes six chapters. Chapter 1 introduces the literature and the objective of this thesis. Chapter 2 gives the preliminaries. In Chapter 3, Banach Fixed Point Theorem is given. In Chapter 4, we study the ultrametric spaces. Some examples including the remarkable p-adic spaces are given. Chapter 5 presents the ordered spaces and some fixed point theorems in these spaces. In Chapter 6, we give the general fixed point theorem due to Kuhlmann and Kuhlmann (2015) which combines various contents. Finally, we conclude with the proofs of Banach fixed point theorem, ultrametric fixed point theorem and as a our contribution to literature Bourbaki and Witt theorems given in ordered spaces by applying the general fixed point theorem.