Genelleştirilmiş yansıtan bariyerli rasgele yürüyüş süreçlerinin incelenmesi

Abstract

Bu tez çalışmasında genelleştirilmiş yansıtan bariyerli bir rasgele yürüyüş süreci matematiksel olarak kurulmuş, analitik ve asimtotik yöntemlerle incelenmiştir. Sürecin bir boyutlu dağılımı incelendikten sonra, süreç için genel ergodik teorem ispat edilmiştir. Ergodikliği ispat edilen sürecin ergodik dağılımı ve bu dağılıma ait karakteristik fonksiyonu elde edilmiştir. Daha sonra zayıf yakınsama teoremi ispat edilen süreç için ergodik dağılımının limitte yakınsadığı dağılım bulunmuştur. Bir sonraki bölümde ise sürecin ergodik dağılımının limitte yakınsadığı dağılımın yakınsama hızı hesaplanmış ve oldukça sade bir formül elde edilmiştir. Bunların yanı sıra sürecin bazı sınır fonksiyonellerinin beklenen değeri ve varyansı için kesin ifadeler; çeşitli momentleri için ise asimtotik açılımları hesaplanmıştır. Burada elde edilen sınır fonksiyonellerinin momentleri yardımıyla sürecin ergodik momentleri için kesin ve asimtotik açılımlar elde edilmiştir. Daha sonra bu ergodik momentler için elde edilen asimtotik formüller bir problem üzerinde uygulanmıştır.

In this thesis, a random walk with a generalized reflecting barrier mathematically constructed and is investigated with analytic and asymptotic methods. After examining the one dimensional distribution of the process, the general ergodic theorem for the process is proved. Both the ergodic distribution and its characteristic function are obtained in this section. Next, the weak convergence theorem for the process is proved and the limit form of the ergodic distribution of the process is found. In the following chapter, the convergence rate of this limit distribution of the process is calculated and a quite practical formula is obtained. Moreover, for some boundary functionals of the process, the exact expression for the expected value and variance are obtained. Also, for some moments for the boundary functionals, the asymptotic expansions are calculated. With the help of these expressions, the exact expressions and asymptotic expansions for the ergodic moments of the process are obtained. Consecutively, the obtained formulae are applied to a problem.