Ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzayları ve bazı uygulamaları

Abstract

Bu tez çalışması üç temel kısımdan oluşmaktadır. İlk bölüm giriş niteliğinde olup, bu bölümde değişken üslü Lebesgue ve Sobolev uzaylarının tarihçesi ve uygulama alanları ele alınmıştır. Tezde kullanılan temel tanımlara ve teoremlere ise ikinci bölümde yer verilmiştir.Bulgular bölümünün birinci kısmında kapasite kavramından bahsedilmiş olup özel olarak ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzaylarında Sobolev -kapasitesinin yerine düşünülebilecek olan rölatif - kapasitesi tanımlanıp bazı önemli özellikleri incelenmiştir. İkinci kısımda ise sıfır sınır değerli ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzayları tanıtılmış ve bazı temel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, bu uzaylarda Poincaré eşitsizliği ispatlanmıştır. Yine, uzayının elemanlarından oluşan yeni bir kapasite tanımlanıp Sobolev -kapasitesi ile arasındaki bazı eşitsizlikler verilmiştir. Üçüncü kısımda, rölatif -kapasitesi yardımıyla tanımlanan -fine (iyi) açık kümeler incelenmiştir. Ayrıca, bu kümelerden üretilen ve Öklid topolojisinden daha ince olan fine (iyi) topoloji, ağırlıklı değişken üslü duruma genelleştirilmiştir. Dördüncü kısımda ise, ağırlıklı klasik Lebesgue uzayı ile ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzayının arakesiti uygun bir normla donatılmış, bu uzayın bazı temel özellikleri incelenmiş ve bazı sürekli-kompakt gömülmeleri elde edilmiştir.

This thesis study consists of three basic sections. The first part of it has the characteristics of introduction, in this section the history of weighted variable exponent Lebesgue and Sobolev spaces and some applications. The basic definitions and theorems are given in second section.The notion of capacity has mentioned in the first part of findings section, in particular, relative -capacity is presented for an alternative of Sobolev -capacity in weighted variable exponent Sobolev spaces. In the second part, weighted variable exponent Sobolev spaces with zero boundary values are introduced and investigated their some basic properties. Also, the Poincaré inequality is proved in these spaces. In addition, a new capacity in is defined and given some inequalities between it and Sobolev -capacity. In the third part, -finely open sets defined by the relative -capacity are investigated. Moreover, the fine topology, which is generated these sets and is finer than Euclidean topology, is extented to weighted variable exponent case. In the fourth part, an intersection space between weighted classical Lebesgue spaces and weighted variable exponent Sobolev spaces has revealed with a suitable norm. Moreover, some properties and continuous-compact embeddings of this space are examined.