Zamanda ayrık sistemlerin modele uyumlu kontrolunda yeni bir yaklaşım

Abstract

in ÖZET Uyumlu kontrol sistemlerinin tasarımındaki esas problem uyarla ma düzeninin tasarımıdır* Daha açık bir ifade ile bu kontrol problemi is tenilen davranışı elde etmek için uyarlama düzeninin, `sistem ya da kont rol edici parametrelerini nasıl değiştireceği` veya `ne şekilde giriş işareti üreteceği` problemidir, istenilen, davranışın referans model ile belirlendiği uyumlu kontrol sistemlerine modele uyumlu kontrol sistem* İeri denir`. Bu çalışmada çok girişli-çok çıkışlı, doğrusal zamanda ayrık ve parametreleri bilinmeyen sistemlerin modele uyumlu kontrolü sorunu in^ eelenmiştir. Ele alınan modele uyumlu kontrol sistemlerinde tam izleme koşullarının sağlandığı ve sistemin durumlarının ölçülebilir olduğu var sayılmıştır. Tezin birinci bölümünde literatürdeki çalışmalar gözden geçi rilerek yaklaşımların ve varsayımların kısaca özeti verilmiştir. İkinci bölümde modele uyumlu kontrol sistemleri, tanıtılmış ve tasarım sorumu nun çözümüyle ilgili olarak, optimizasyon teorisine, Lyapunov kararlılık teorisine ve Popov hiperkararlılık teorisine dayanan temel yaklaşımlar ayrıntılı bir şekil'de anlatılmıştır. Üçüncü bölümde, incelediğimiz problem tanıtıldıktan sonra Lyapunov kararlılık teorisine dayanan tasarım yönteminden yararlanarak, durum hatasınınasimptotik olarak sıfıra gitmesini sağlayan uyarlama kural ları elde edilmiştir, yakınsama biz*, bağlı olduğu parametrelere göre in celenerek, elde edilen sonuçlar karşılaştırmaya olanak sağlaması bakımın dan sayısal örnek üzerinde grafiklerle verilmiştir.IV Elde edilen uyarlama kurallarının çeşitli durumlardaki sistem lere uygulanabilirliği tezin diğer bölümlerinde gösterilmiştir. 4. ve 5. bölümlerde elde, edilen sonuçlar.3. bölümde olduğu gibi örnek problem yar dımıyla grafiklerle gösterilmiştir. Tezin 6. bölümünde zayıf kuplaj lı, büyük boyutlu sistemlerin kontrolü sorununa yöresel geri besleme ile yaklaşım incelenmiştir. Uyar lama kurallarının da- yöresel bilgiye göre elde edilebildiği zamanda sü rekli sistemler için `zayıf kuplaj` dan ne anlaşıldığı ayrı bir ek ile. açıklanmıştır.

SUMMARY, In this dissertation, model reference adaptive control of linear» multivariable, time^invariant discrete time systems is considered. The adaptive control strategies are implemented by using a reference model `which satisfies the `perfect following'* conditions and the states; Of the plant which are assumed to he available. The plant to be controlled and the model are described by th> following equations Xri(k+l)=An. Xn(k)*BB U fk) (1) P P P P P x^Ck+D^A x^W u-Cfc) *`' (2) © m ra mm where x and x are n-dimehsional state vectors of the plant and the.'...' P' m model respectively. u` and; u_ aire m-dimensional vectors, A,B are. P m p p constant matrices with unknown enteriee, whereas A,B are constant m m known matrices with appropriate dimensions,' The adaptive control law is given by ^^»Qlk) {/(k) x`Oc)-wi (k)} (3) p p m where Q(,) and F(«) are mxip and mxn matrices to be adapted and the matrix Q(.) is nonsingular. F(.) and`Q(.) can be considere4 as variable gains implemented on the feed-forward afld feed`6aek paths. After the implemeötation of the Cötttrol strategy given abovig, the state equation of the plant catîs be written asVI x (k+l) = [A +B. Q(k)F(k)İ`x_(k)+B Q(k)um(k) (4) The block diagram for such a system is given in Figure 1. u`(k) Reference Model Vk). Q(k) 7 - X F(k) ?Plane Adaptation Mechanism Figure 1. General block diagram for the Model Reference ; Adaptive Control. System being considered. The perfect following conditions can be summarized as A +B Q*F* =A P P m B Q* =B P m (S) (6) where F and Q are unknown constant matrices. Now, the generalized state error which is defined by e(k)=xm(k)-x (k) (7) m p v ' satisfies the following equationVII... JT-. e-tk^DHL, e(k)-*B [F -F(k)]x (k) m m P +Bra i<fl (k)-Q*`1 ] Q(k> tu, (k) +F (k)*, mi If the parameter error is defined by *(k)4 F*-*F(k) ' ?'.. -,^,. >(fc)= (fW^ I ??? ^ then equation (8) can be written in the following icra»! e(k+l)=A e(k)+B *T(k)x (k)+B <Ji(k)Q(k) [u (k) m. m p m m +FT(k)xp(k). ] -(H). At this stage, an adaptation algorithm is needed which gives the dynamics of the parameter error and stabilises the overall system. In this dissertation Lyapunov stability criterion is employed in order to obtain an adaptation algorithm which stabilized the system. More precisely, * a Lyapunov function is defined as V(k)=tr [*T(k) *<k)+/(k)<Kk)] (W) i and parameter, error is adapted so- that V(k) =V (k+l)-V(k)<0 (13) The adaptation algorithm obtained is F(k+l)=F(kJ+e(k)x (k) [e(k+l)-A, e(k)]TPB` (14) p m m {(f^k+l)]1- [Q_1(k)]T -e(k)q.(k)[u.(k)+FT(k)xn(k)] (15). m p (e<k+l)-A. e(k)]PBm m mwhere VIII e(k) = 0<ct<2 y(k)y(k)i max z (k)Pz(k) e(k) = yT(k)y(k)zT(k)PB B^PzCk), mm with P being a symmetric positive definite matrix and X is the maximum eigenvalue of B B P. Further, z(k) and y(k) are defined as mm. z(k)= e(k+l)-A e(k) -?'-?? m ? '.,.... (16) y(k) Xp(k) Q(k)[u (k)+F (k) x (k)] m P (17) If the input u is `sufficiently rich`, then it can be shown that the m parameter errors #.(k) and i(;(k) approach zero asymptotically. If a constant unknown disturbance drives a system with unknown parameters, then the equations for such a system can be written as x (k+l)=A x (k)+B u' (k)+w r(k) P P.P.,. PP where x, w are n-dimensional vectors and u is m-dimensional control P P vector. A and B are constant unknown matrices of appropriate dimensions P P.. w is a constant unknown disturbance and r(k) is a scalar. Suppose the reference model to be tracked is given as x (k+l)=A x (k)+B u (k) m mm mmIX where x and u are of dimensions n and m and, A and B are constant mm mm matrices with A stable. Let' m u (k)=Q(k)fFT(k)x <k)+u (k)+v(k)r(k)3 P p m Wİ1? IT 6 m F(k+l)=F(k)+e(k)x (k)z (k)P B p m tQ`1(k+l)]T=[Q*1(k)]T-e(k)Q(k)[FT(k)x (k)+u (k)+v<k)r(k)lzT<k)PBm p in m vT(k+l)=vT(k)+e(k)PB r<k) m e(k) =,_,`...«r.0<«<2 y(k)y(k)A '-. max *(k)*«(k+XHL-«<fc) m /..?. The adaptation equations and the adaptive control law given above forces the system to track the given stable reference model. r(k) can be chosen as a unit step function. In the dissertation, it is also shown that Lyapunov stability criterion can be employed to obtain suitable adaptation algorithms forother several model reference adaptive control systems. In the last section of this thesis, large scale systems with `weak` interconnections are considered. When local feedback control strategies with local adaptation algorithms are implemented for such systems, it becomes necessary to define the `weak coupling` condition in order to stabilise the overall system via Lyapunov stability criterion. `Weak Coupling` condition for continuous-time systems is given in appendix 6.The results obtained in the thesis are illustrated through numerous computer simulations, the dependence of the convergence of state and parameter errors to zero» to the different parameters of the plant is demonstrated. Some of these examples are given in the last part of the relevant sections..XI NOTASTON LlSTESt R : n-boyutlu Öklid uzayı I : Uygun boyutlu birim matris T A :? A matrisinin transpozu * T x,: x sütun vektörünün transpozu T A=A >0: A bir simetrik pozitif tanımlı matristir. T A=A >0: A bir simetrik negatif olmayan-tanımlı matristir. îz A î A matrisinin Szdeğerlerinin toplamı (izi) xeX : x, X uzayının bir elemanıdır..= '. tanım t A : A matrisinin belli bir anlamda genelleştirilmiş tersi fia = {xx=a, xeîî} ı fi kümesinin a ya eşit elemanlarının oluş turduğu küme. r(k) ı Ayrık birim basamak fonksiyonu 0 k<0 1 k>0 r(k)= x : Kontrol edilen sistemin durum değişkenleri x : Modelin durum değişkenleri m u : Kontrol edilen sistemin kontrol giriş işareti P u : Modelin kontrol giriş işareti m A : Kontrol edilen sistemin sistem matrisi P A : Modelin sistem matrisi m B : Kontrol edilen sistemin giriş matrisi P V B : Modelin giriş matrisi V : Lyapunov fonksiyonu Ç - ; Skaler kuplaj katsayısı