Isomonodromic deformation methods for the initial value problems of the painleve equations

Abstract

SUMMARY The Painleve equations appeared in the theory of the ordinary differential equations at the beginning of our century, in connection with a classification problem for the equations of the form: q`=F(q',q,x) where F is rational in q', algebraic in q and locally analytic in x, whose solutions are free from movable critical points. This dissertation deals with the initial value problems of some Painleve equations via monodromy preserving deformation methods. The dissertation is divided into three chapters. Chapter 1 presents preliminary introduction and information about the forthcoming chapters. General theory about Painleve equations is discussed. A brief summary about the solutions of matrix linear differ ential equations, monodromy preserving deformation theory and the Stokes phenomenon is given here. In chapter 2 and 3, respectively the initial value problems of 2nd and 4th Painlevâ equations are solved via isomonodromic deformation theory, Special solutions of these Painleve equatios expressible in terms of the classical transcendental functions are obtained. (İV)

ÖZET PAİNLEVİS DENKLEMLERİNİN BAŞLANGIÇ DE?ER PROBLEMLERİ İÇİN MONODROMİYİ KORUYAN DEFORMASYONLAR YÖNTEMİ Painleve denklemleri bu asrın başlarında, q`=F(q',q,x) şeklindeki denklemlerin sınıflandırılması ile, adi dife ransiyel denklemler teorisi içindeki yerlerini aldılar. Burada F, q' ye göre rasyonel, q ya göre cebirsel ve x'e göre yerel analitiktir. Bu denklemlerin çözümlerinin hareketli tekil noktaları yoktur ki daha sonraları buna, Painleve özelliği denmiştir. Sınıflandırma problemi Painleve ve birlikte çalışanlar tarafından tam olarak çözüldü (4). Yukarıdaki yapıdaki denklemlerin ya o gün lerde bilinen özel fonksiyonlar cinsinden çözülebilen ya da bir Mobiüs dönüşümü ile altı Painleve denkleminden birine indirgenebilen elli sınıfta toplanabiliyordu. Painleve denklemlerinin düzenli ya da düzensiz tekil noktaları olan uygun lineer diferansiyel denklem sistemleri için monodromi koruyan deformasyonlar tanım ladıkları daha ilk günlerden biliniyordu.. Ancak bu özelliğin, Painleve denklemleri gibi lineer olmayan denklemlerin başlangıç değer problemlerini çözmek için kullanılabileceği ancak günümüzde anlaşılmıştır. Bu tezde ikinci ve dördüncü Painleve' denklemlerinin başlan gıç değer problemleri işte bu yöntemle ele alınmıştır. Tezin birinci bölümünde diğer bölümler tanıtıl makta ve açıklayıcı bilgiler verilmektedir. Yine bu bölümde Painleve denklemlerinin günümüzde yeniden önem kazanmalarına neden olan fiziksel uygulamalara da yer verilmiştir. h pozitif bir tamsayı ve A(z), z=0 noktası civarında holomorfik bir matris fonksiyon olmak üzere; 00 zhY =A(z)Y, A(z)= T~A zn (1) ' z ~z n n=0 gibi lineer matris diferansiyel denklemlerin düzgün ve düzgün olmayan tekil noktaları civarındaki çözümleri debu bölümde ele alınmaktadır. Bu lineer matris diferan siyel denklemde h, tekil olmayan noktalar için sıfır, düzgün tekil noktalar için bir ve düzgün olmayan tekil noktalar için birden büyüktür. Çalışma 2X2 boyutlu sistemlere sınırlandırılmıştır. 3X3 lük sistemler için 1473 de bir deneme vardır. (1) deki gibi matris diferansiyel denklemin z=0 düzgün tekil noktası civarındaki çözümleri üç halde ele alınır: (a) Ao m özdegerleri arasındaki fark bir tamsayı' değil ise, /1) in temel çözüm matrisi. P =1 olmak üzere; Y(z)=P(z)zAo, P(z)=^P zn n n=o şeklinde yazılabilir. P(z) katsayı fonksiyonları; 00 A- T A zn n = 0 n serisinin katsayılarından dört elde edilebilir. (b) A m gibi katlı özdegeri varsa, (1) in temel çözüm matrisi, K= 0 1 0 0 olmak üzere; ^ Y(z)=P(z) (I+Klogz)z şeklinde yazılabilir. P(z) katsayı fonksiyonları yine dört işlemle A 1er cinsinden hesaplanabilir. * n (c) A in özdegerleri arasındaki fark bir pozitif tamsayı ise, Bir sündürme dönüşümü yardımıyla bu hal, (b) haline dönüştürülebilir. (1) denkleminin z«0 düzgün olmayan tekil noktası civarındaki çözümü de benzer olarak elde edilebilir. z= l/x dönüşümü z=0 düzgün olmayan tekilliğini, sonsuzun komşuluğuna taşır ve (1) denklemi; z_qY =A(z)Y, q=h-2 haline gelir. Burada x serbest değişkeni z diye adlan dırılmıştır. Böylece A m özdegerleri farklı ve A(z) sonsuz civarında holomorfik olmak üzere; Y(z)«Y (z)zDeQ(z) olarak yazılabilir. Burada; (i) Q(z) ve D köşegen matrislerdir. (ii) Y(z) matrisi, köşeleri orijinde bulunan ve tepe açı ları TT/(q+l) i geçmeyen S sektörleri içinde; a «£ a n Y(z)~ X Ynz n=o şeklinde kuvvet serisine açılabilir. (vi)Birinci bölümde ayrxca temel çözüm matrisinin çeşitli sektörlerdeki davranışları ile ilgili olarak, Stokes olayı ve monodromi matrisi kavramı da anlatılmış, daha sonraki bölümler için gerekli ön hazırlıklar tamam lanmıştır. İkinci bölümde; 3 q`=2q +xq-k ikinci Painleve* denklemi (kısaca Pil) ; Y (z,x)= G* z F=z2+v+x/2, G=u(z-q) G -F Y(z,x) (2a), G*=-2vz/u-2 (8+qv)/u ve z/2 u/2 Y (z,x)=-v/u -z/2 Y(z,x) (2b) lineer matris diferansiyel denklem çiftinin integre edi lebilirlik koşulu olarak yazılmıştır. Burada Pil denklemini lineerleştirmek için kulla nılan yöntem ilk defa H. Flaschka ve A. C. Newell [383 tarafından, Pil ve PIII ün bir özel haline uygulanarak ortaya atılmıştır. Mamafih burada kullanılan lineer denklem çifti, onların kullandıklarından farklıdır. [38] in yolu izlenerek Pil için önce monodromi bilgisinin başlangıç koşullarından hareketle hesaplanmasından iba ret olan, doğrudan problem çözülmüştür. Doğrudan problemi çözmek için, (2. a) nın lineer bağımsız iki çözüm vektörünün z= «? civarındaki biçimsel açılımları; II I - H 0+ -v/u -1 z +. -] Y2(z;x) =z~9eksp(-z3/3-xz/2) 00 r ° Llı+ -u/2 H '?...] H=v /2+ (q+x/2) v+6q şeklinde elde edilir. z-* °° iken yukarıdaki asimtotik açılımların artanlıgı ve azalanlıgı, eksp(±z3/3) çarpanı tarafından belirlenir. Her; Sj={z: (2j-3)n/64argz<(2j-l)n/6}, j=;L,2,...,6 sektörü içinde (1) denkleminin, z bu sektörde sonsuza giderken Y^ = ( yJ], Y£) matrisine asimtotik olacak şekilde bir Y-(z;x) holomorfik fonksiyon temel çözüm matrisi vardır. S. deki Y.(z;x) çözümü ile S^, deki Y+1(z;x) çözümü arasında; Yj + 1=YJAJ (vii)şeklinde bağıntılar bulunur. Burada A. Stokes matrisleri V A2=0 A5=e V A6 = 1 0 c 1 şeklindedir. Stokes çarpanları denilen, a, b, c, d, e, f sabitleri, monodromi bilgisinin bir kısmını oluştururlar. Lineer matris diferansiyel denklemin çözümünü, monodromi bilgisinden yararlanılarak yeniden inşa eden monodromi koruyan deformasyonlar teorisi ters problemi lemi ise, sonsuz civarında kapatılan Sekil 2-2 deki gibi bileşik kontura Cauchy integral teoremi uygulandıktan sonra, lineer matris diferansiyel denklemin çözümünün Y`' (z;x), Y® (z;x) sütun vektörleri için; 1 1 YJ1* [z;x)z&e~*{-z) = /0 + (1/2TTİ) [ajY.^ y9e~*(y) dy/ (y-z) C72 +ej [(d+b+bcd)Y1) + (ad+(ab+l) (cd+1) ) Y^~/yQe~^Y) dy/ (y-z) e--*04`,,.. _-,. f` (2)..e^vx;dy/ (y_2)j '76 +cJ~[(bYJ1) + (ab+l)Y2)]y`e ``'Uy/ (y-z) + `74 >5 71 ve Y;[2>(z,.x)z-&e^ =l +(l/2ni)[bf(Y:[1^aY:[2))yee^y;dy/(y-z) C73 +dj [(bc+l)Y1) + (a+c+abc)Y.J2f]y~eec<(y)dy/ (y-z) +jY2)y-ee^y)dy/(y-z)] '75 *71 (X(y)=y3/3+xy/2 tekil lineer integral denklem sistemini verir. 'b/.7,fC72»* C75 ve C7ç konturlerı Sekil (2-3) te gösterilmiştir. Bu denklem sisteminin Yj çözüm vektörünün birinci bileşeni olan Y^' (z;x), ikinci Painleve denkleminin çözümü olan q(X)'e'' r 1-8 (2) *teî I u(x)=-2Lim z1 By}2/ (z;x)e ? ı ı - 1,1 _1 z I -»*> q (x) =-d Lnu/dx bağıntıları ile bağlıdır. Günümüze kadar, bu tür tekil integral denklemlerin genel çözümlerini elde etmeye yarayacak bir teori geliş- tirilebilmiş değildir. Bu tezde bu denklemler, üç ayrı başlangıç koşuluna tekabül eden, üç monodromi bilgisi takımı için özel hallerde çözüldü. Böylece Pil nin Ai (x) (viii)Airy fonksiyonlar x cinsinden; q(x)=-d Lnu(x)/dx, u(x) = (b/ (21tfi) ) Ai (-2~1/3x) şeklinde yazılabilen rasyonel çözümleri elde edildi. Üçüncü bölümde dördüncü Painleve denklemi benzer şekilde ele alınmıştır. Bu durumda; q'--(q') 2/2q+3q3/2 + 4xq2+(x2-*)q+Ş/q dördüncü Painleve denklemi, V 1 0 0 -İl V 2(v-e-e )/u u -X ve A-ı` 6o -v 2v(v-20 ) /uq o -uq/2 -(6 -v) o olmak üzere, Y (z;x) = (A z+A +A.z``1) Y(z;x) z 1 U -1 2X2 lineer matris diferansiyel denkleminin monodromi ko ruyan def ormasyonlarını tanımlamaktadır. Bu bölümde, önce başlangıç koşullarından monodromi bilgisini elde eden doğrudan problem, sonra da monodromi bilgisinden yararla narak matris diferansiyel denklemin çözümünü kuran ters problem çözüldü. Sonuçta çözüm matrisinin sütun vektör lerini verecek tekil integral denklem sistemi, tf 'Cc:o' C__ve C konturları Sekil (3~2) deki gibi olmak üzeref 53 54 Y (1) (z;x)z6» S^z) = 0 + (l/2T7i)[a [y _J2) (y;x) y % e a{y)dy/ (y-z) 1 L>i 1 U52 +C/ LbYl1)(y;X) + (ab+1)Yl2)(yîX)ly9<ö®CX{Y) dy/(y`z) 54 + f Y1(l)(Y;x)ye«e-^{y)dy/(y-z)l 51 ve 0 r ç Y (2) (z;x)z`eo`e^(z)= 1 +{l/2Tîi) b (Y `(1) (y ;x) + 1 <- J, ı 53 aY <2) (y;x) )y `i e°^(y)dy/ (v-z) + (y j2) (y ;x)y ~6»e °^(y)dy/ (y-z)] 51 olarak elde edilmişlerdir. Bu tekil integral denklem sistemi, monodromi bilgisinin ve PIV denkleminin paramet relerinin bazı özel hallerinde çözülebilmiş ve bu çözüm lerden yararlanılarak dördüncü Painleve denkleminin çözüm leri bu özel hallerde Weber-Hermite fonksiyonları cin sinden elde edilmiştir. (ix)