Local intrinsic modes: a new method to solve non-separable wave problems

Abstract

ÖZET YEREL ÖZMODLAR KARMAŞIK DALGA PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE YENİ BÎR YÖNTEM Hem enine (kesit içi) hem de boyuna (ışınım doğrul tusu boyunca) değişimlerin var olduğu kılavuzlanmış dalga ışınımı problemleri doğal ve yapay birçok ortamda önemli bir problem takımını oluşturmaktadır. Böyle ortamlarda uygun koordinat sisteminde kesit içi ışınım modlarının bu lunabilmesi genel alan dağılımlarının bu temel yapı taş ları etrafında yapılanmasını olası ve kolay kılmaktadır. Bu temel yapı taşlarının bulunabilmesi verilen ortamda dalga denkleminin değişkenlerine ayrıştırılabilir olması na sıkı sıkıya bağlıdır. Dalga denkleminin değişkenle rine ayrıştırılabildiği bir koordinat sisteminin buluna madığı durumlarda MOD kavramı sağlıklı tanımlanamaz. An cak ışınım ekseni boyunca değişkenlerin `yeterince yavaş` olduğu varsayılabildiğinde (ayrıştırılamamanın zayıf ol ması durumunda) dalga denklemi yerel olarak ayrıştırılıp yaklaşık modlar inşa edilebilir. Yerel modlar (adiabatic modes; AM) denilen bu yapı taşları dalga denkleminin WKB çözümünden başka bir şey değildir [l,2]. WKB, ışınım doğ rultusunda herhangi bir noktadan geçen ve kesiti o nok tadaki ortam kesitine eşit paralel levhalı dalga kılavu zu modlarının bulunması yöntemidir. İki boyutlu (x,z) koordinat sisteminde kesit (x), ışınım doğrultusu (z) olarak alındığında AM çözümleri her zg noktasında de ğişkenlerine ayrıştırılmış dalga denklemini sağlarlar. Bu AM kendilerini, yansıma ve diğer modlara kuplaj olmaksı zın, yavaş değişen ortam koşullarına uyarlayabilmektedir- ler. Dağılma denkleminin ( k2 = kx2 - Bm2 (z) ) olduğu göz- önüne alındığında ışınım doğrultusunda AM faz değişimi Bm (z) dz şeklindedir. Klasik modlarda olduğu gibi AM de enerji korun umunu sağlamak amacıyla ; normalize edilmektedirler.VI Ancak ışınım boyunca `kesim` bölgesi (cut-off), `kıla vuz lanma-sızıntı` bölgesi (guiding-to- leaky) ve `kıla-, vuzlanma-ışıma` bölgesi (guiding-to antiguiding) gibi dalga ışınımı problemlerindeki kritik bölgelere yaklaşıl dığında AM enerji korunumu sağlayamaz. Dalga ışınımı problemlerinde kesim kesitin daralmasından, kılavuzlan- ma-sızıntı ortam parametrelerinin kesitte bilineer değiş mesinden, kılavuz lanma-ışımı ise boyuna değişmelerin bir Zq noktasından sonra işaret değiştirmesinden kaynak lanmaktadır. Yakın geçmişte, AM nin bu yetersizliğini gidermek amacıyla `özmodlar` (IM) yöntemi dielektrik kama proble mine uygulanmıştır [3]. Düzlem dalgalarının süperpo- zisyonu ile oluşturulan bir biçim IM integrali kama içinde daralan kesit yönünde ilerleyen modların kesime girip kama dışına ışın demeti şeklinde ışımalarını doğ ru olarak açıklayabilmektedirler. Ayrıca geçerli oldukla rı bölgelerde AM çözümleri, IM integral inin yaklaşık yöntemlerle (semer noktası, durağan faz noktası yöntem leri) analitik olarak indirğenmesiyle elde edilmektedir ler. Düzlem dalgalarının süperpozisyonu yerine, kritik bölgelerden yeterince uzakta, AM ile oluşturulan spek- tral IM integrali horn antenlerde alan dağılımı [4] ve optik dalga kılavuzlarında iletim [5] problemlerine de başarıyla uygulanmıştır. Bu çalışmada İM yöntemi `yerel özmodlar` (LIM) şek linde geliştirilmiş, önce kapalı tam çözümlerin bulunduğu kanonik örnek yapılarda çözümlerin doğruluğu gösterilmiş, daha sonra değişkenlerine ayrıştırılamayan kritik bölgele rin olduğu dalga problemleri çözülmüştür. îlk bölüm yerel özmodlar (LIM) integralinin bir ve iki boyutlu yapılarda oluşturulmasına ayrılmıştır.VII LIM integrali, AM spektral bileşenleriyle oluşturulan in- tegranda iki spektral keyfi fonksiyonun (biri spektral faz diğeri spektral genlik fonksiyonu) eklenmesi, spektral genlik fonksiyonunun dalga denklemini asmptotik açılımda ikinci mertebede sağlayacak şekilde seçilmesi ve faz fonk siyonunun ise integrandın semer noktasının istenen gözlem noktasına gelecek şekilde seçilmesiyle oluşturulur. Bunu yapmadaki temel amaç LIM integrali durağan faz yöntemiyle alındığında elde edilen sonucun yerel mod (AM) sonucuyla orantılı olmasını sağlamaktır. Seçilen bu keyfi genlik ve faz fonksiyonları aslında yerel modların genlik ve faz `. fonksiyonundan başka birşey değildirler. ikinci ve üçüncü bölümlerde kapalı tam çözümleri ; -bu lunan iki kanonik yapıda LIM integrali ele alınmıştır. îlki tam yansıtıcı sınırlara sahip homojen dielektrikle doldu- rulmuş kama problemidir. İkincisi kesitte doğal sınırları bulunmayan ancak ortam kırılma indisi enine modların oluş masına olanak sağlayacak şekilde değişen yap.ıdır. Bu yapı nın paralel tam yansıtıcı kamadan tek farkı modların tam yansıtıcı düzlemler arasında değil oluşan kestikler arasın da hapsolmasıdır. Her -iki kanonik problemde düzlem polar koordinat sisteminde değişkenlerine ayrıştırılabilir tip tendir. Yerel modların oluşturulabilmesi için radyal uzak lık ve bu uzaklıktaki yay parçası koordinat bileşenleri olarak alınmış ve problem değişkenlerine ayrıştırılamayan tipe dönüştürülmüştür. Bu sistemde enine rezonans prensibi kullanılarak dalga vektörünün açısal ve radyal bileşenleri bulunmuştur. Kama probleminde enine modlar sinüs fonksiyo- nuyla diğerinde ise Gausyen-Hermit fonksiyonuyla gösteril mektedir. Boyuna değişimler ise kaynak ve gözlem noktala rının konumlarına bağlı olarak Bessel yada Hankel fonksi yonlarıyla verilmektedirler. Bu bölümlerde'. LIM iintegrali birinci bölümde anlatılan esaslarla oluşturulmuş, boyunaVIII dalga sayısı spektral domeninden uygun dönüşümlerle açısal spektrum domenine geçilip, bu doraende integral yolunun uy gun ötelenmesiyle Bessel ya da Hankel integral gösterilim- leri elde edilip kapalı tam çözümlere ulaşılmıştır. LIM integralinin tam çözümleri verdiği analitik olarak göste rildikten sonra integralin sayısal olarak alınması için uygun bilgisayar modülleri anlatılmış ve hesaplama üç de ğişik yöntemle gerçekleştirilip gerek birbirleri ile gerek se tam çözümlerle karşılaştırılması yapılmıştır. îlk sa yısal hesaplama LIM integralinin gerek orijinal yolu üze rinde gerekse en dik iniş yolu üzerinde alınması ve her iki Sonucun da Bessel fonksiyonlarının tablo değerleriyle kar şılaştırması olmuştur. özellikle büyük argüman ve mertebe- li Bessel fonksiyon değerlerini toblolarda bulmak olası olmadığından LIM integralini hesaplayan modüller (WLIM, FOR, WMODE, FOR) Bessel fonksiyonlarının hesabında rahatlıkla kullanılabilirler. Bu bölümlerde yapılan son sayısal ça lışma integralin kesim bölgesinde asimtotik olarak hesap- lanmasıdır. îlk üç bölümde yöntem açıklanıp güvenirliği kanonik yapılarda hem analitik hem de sayısal olarak gösterildik ten sonra dördüncü bölümde gerek sualtı ses dalga ışınımı gerekse troposfer tabakasında elektromagnetik dalga ışını mında görülen ve ortam parametrelerinin enine ve boyuna `daralan ışınım kanalı` (narrowing duct) oluşturacak şekil de değişmesi problemi ele alınmıştır. LIM integrali anali tik olarak oluşturulmuş ve kanonik test bölümlerinde uygu lanan integrasyon teknikleriyle yerel özmodların gerek eni ne gerekse boyuna değişimleri kesim bölgesindeki davranış larıyla beraber gösterilmiştir. Modların ayrıca üç boyutlu grafikleri de verilmiştir. Beşinci bölümde ise ışınım doğrultusu boyunca `geniş leyen bilineer kanal` problemi incelenmiştir. `Kılavuzlan- ma-sızmtı` ve `Kılavuzlanma-ışıma` kritik bölgelerininIX analitik ve siyasal hesaplarının yapıldığı bu bölüm dör düncü bölüm gibi oldukça karmaşık ve zor problemler sınıfı na girmektedir. LIM integral! (x,z) koordinat sisteminde modların kırılma indisinin enine bilineer boyuna lineer de ğişiminden ötürü belirli bir gözlem noktasına kadar tam kılavuzlandığını ve bu noktadan sonra boyuna doğrultuda ke sime girip enine tabana sızdığını tam olarak verebilmekte dir. Kılavuzlanma-sızıntı geçişi bilineer profille ince-. lenmiştir. Burada profil kesitte belirli bir uzaklığa (ka nal genişliği) kadar kılavuzlayıcı bu uzaklıktan sonra ise yayıcı özelliğe sahiptir. Yerel modların (AM) geçerli ol duğu bölgede LIM integrali oluşturulduktan sonra geçiş böl gesinde bu çözümün birbiçim olduğu gösterilmiştir. Geçiş bölgesinin uzağında modlar kesitte üst sınır ile kostikleri arasında tuzaklanmaktadır. Tuzaklanmış modların kostik ge nişlikleri kanal genişliğinden oldukça küçüktürler. Sızın tıya uğramış modların ise kostik genişlikleri kanal geniş liği mertebesindedir. Kılavuz lanma-ışıma geçişi yine LIM integralinin yerel modların geçerli olduğu bölgelerde oluşturulması ve birbi çim sonucun geçiş bölgesinde incelenmesiyle ele alınmıştır. Bu geçiş burada (x,y) sisteminde ele alınmıştır. Bu haliy le LIM integral çözümü kılavuz lanma-ışıma geçişini açıkla- y anlamaktadır. Bu geçiş bölgesinde tuzaklanmış modlar ışın demeti şeklinde ışımaya uğramaktadırlar. LIM integreli bu haliyle geçiş bölgesinin ötesine analitik olarak ötelendi- ğinde ve asimptotik olarak hesaplandığında ışınımın oluştu ğu hissettirecek şekilde ışınımın bir ayağını yakalıyabil- mektedir. Ancak ışınımı tam olarak gösterebilmek için eş faz yüzeylerini yakalayacak uygun yerel küresel koordinat sis temi sistematik olarak bulunmalıdır. Yöntemin kanonik ve kanonik olmayan yapılarda uygulan ması, problemleri `zor problemler` sınıfına sokan içerdiklerikritik noktalarda tek bir integral gösterilimden kılavuz - lanmış, sızıntıya uğramış ve tabana ışımaya başlamış modların ayrı ayrı tam olarak aç ıklanab ilmesin in ko laylığı sonuç bölümünde verilmiştir.

e ABSTRACT LOCAL INTRINSIC KODES : A NEW METHOD TO SOLVE NON-SEPARABLE WAVE PROPAGATION Wave guiding environments with transversely and longitudinally varying properties occur in many natural and man made settings. In such environments, it is desirable to seek propagation modes that maintain their transverse shape in a suitably defined analytical reference frame because the propagation of general wavefield can then be organized systematically around these basis elements. The definition of these basis elements are strongly tied to the separability of the wave equation. Although the mode concept is `ill-defined` for nonseparable wave problems it is still possible to construct approximate mode fields if the longitudinal variations are `sufficiently slow`. Local separability can be applied for these weakly separable wave problems which gives local modes (adiabatic modes, AM) satisfying the range independent wave equation for each range point. In (x,z) coordinate space due to the longitudinal (i.e.,z) variations, the transverse amplitude depends weakly on z, and its longitudinal traveling behavior is characterized by an accumulated phase in the form of a phase integral J0 (z)dp, in where 0 (z) is the modal eigenvalue propagation coefficient of the range independent mode corresponding to the local conditions at z=z'. Like exact modes in range independent environments, the AM can be normalized (i.e., they have finite energy) providing they belong to the class of `proper` modes whose transverse fields either decay at x -> +» or are confined to a finite x domain by impenetrable boundaries. Within the context of coupled mode theory for range dependent propagation the smoothly adapting AM account for the lowest order (nearest neighbor) coupling between the range independent modes. Higher order coupling, or partial reflections due to the range dependent environments are neglected in the AM approximation. The ability to normalize the AM fails when the range dependence leads to local mode cut-off and(or) trapped-to- leaky and guiding-to-antiguiding transitions. The AM failure is due to the spectral deficiency of the AM field in these transitional domains; it can be repaired by constructing a spectral 0-continuum around the range dependent point spectrum 0 (z). The extended spectrum is n synthesized from that of the AM modes, and the resulting wave object, termed a local intrinsic mode (LIM) provides the required uniformization of the AM passing through the transitional domains.