Kuantum tekillik analizinin matematiksel temelleri: Horava-Lifshitz teorisindeki uygulamaları

Abstract

Bu tezde, kuantum tekillik analizinin matematiksel dayanak noktaları ve bu analizin matematiği ele alınarak Horava – Lifshitz teorisindeki uygulaması yapılmıştır. İlk olarak, gerekli matematiksel altyapı olan; topolojik uzaylar, metrik uzaylar, vektör uzayları, normlu uzaylar, iç çarpım uzayları ve Hilbert uzayı gözden geçirilerek temel teoremler ispatlanarak, gerekli temel tanımlar yapılmıştır. İkinci olarak ise, uzay – zaman tekillikleri tanımlanarak kuantum tekillik analizinin dayandığı matematiksel temel ve kriterler verilerek, operatörlerin özde (essentially) self – adjointliğinin belirlenmesi için gerekli teoremlerin ispatları yapılmış ve bu analizin iki temel metodu olan özde (essentially) self – adjointliğin temel kriteri ve Weyl limit noktası – limit çemberi kriteri, ispatları ile verilmiştir. Daha sonra uygulama, önemli bir alternatif gravitasyon teorisi olan Horava – Lifshitz teorisinde yer alan Kehagias – Sfetsos küresel simetrik karadelik çözümünün çıplak tekillik şartı çerçevesinde yapılarak, Klein-Gordon ve Dirac denklemlerinden elde edilen diferansiyel operatörlerin uzaysal kısmının özde (essentially) self – adjointliği bu iki farklı metot ile incelenmiştir. Yapılan analizde klasik olarak tekil olan uzay – zaman yapısının kuantum mekaniksel olarak tekil olmadığı gösterilmiştir.

In this thesis, the mathematical foundations of quantum singularity analysis together with its application in Horava- Lifshitz gravity theory is considered. First, the necessary background including topological spaces, metric spaces, vector spaces, normed spaces, inner product spaces and Hilbert spaces are reviewed and basic theorems are proved. Secondly, the definion of space – time singularities and quantum singularities are given. The essential theorems required for essentially self – adjointness of operators are proved. These theorems are known as the basic criterion of essentially self – adjointness and Weyl limit point – limit circle criterion. Finally, the naked singularity in spherically symmetric solution of Kehagias – Sfetsos metric within the context of Horava – Lifshitz gravity theory is probed with bosonic and fermionic fields obeying Klein – Gordon and Dirac equation. Analysis have revealed that the classical singularity becomes quantum mechanically non – singular.