RHO statistical quası Cauchy sequences

Abstract

Her n pozitif tamsayısı için /mathrm{/Delta}/rho_n=/rho_{n+1}-/rho_n olmak üzere terimleri reel sayılar kümesinden alınan (/rho_n) pozitif değerli, azalmayan, /lim/below{n/rightarrow/infty}{/rho_n}=/infty , /mathrm{/Delta}/rho_n=O(1) özelliğini sağlayan bir dizi ve /lim/below{n/rightarrow/infty}{{sup}_n/frac{/rho_n}{n}}</inftyolsun. Eğer /lim/below{n/rightarrow/infty}{/frac{1}{/rho_n}/left/left/{k/le n:/left/ a_k/right/geq/varepsilon/right/}/right=0}oluyorsa (a_n) dizisine ρ –istatistiksel quasi Cauchy dizisi denir. A ⊆ E ve E ⊆ ℝ olmak üzere terimleri A kümesinden alınan her dizinin bir ρ –istatistiksel quasi Cauchy alt dizisi var ise A kümesine ρ –istatistiksel ward kompakt küme denir. Reel sayılar kümesinin bir alt kümesinden reel sayılar kümesinin içine tanımlanan bir fonksiyon ρ –istatistiksel quasi Cauchy dizilerini yine bir ρ –istatistiksel quasi Cauchy dizilerine çeviriyor ise bu fonksiyona ρ –istatistiksel ward sürekli fonksiyon denir.Yani reel sayıların alt kümelerinden herhangi bir tanesi W olsun ve W kümesinden reel sayıların içine tanımlanan bir f fonksiyonu verilsin. Eğer bu f fonksiyonu W kümesinden alınan her (a_n) ρ –istatistiksel quasi Cauchy dizisini (f/left(a_n/right)) ρ –istatistiksel quasi Cauchy dizisine dönüştürüyor ise f fonksiyonuna ρ –istatistiksel ward sürekli fonksiyon denir. Sınırlı bir küme üzerinde tanımlı düzgün sürekli fonksiyonların kümesi ρ –istatistiksel ward sürekli fonksiyonların kümesini kapsar.

A sequence (a_k) of points in ℝ, the set of real numbers, is called ρ –statistically quasi Cauchy if/lim/below{n/rightarrow/infty}{/frac{1}{/rho_n}/left/left/{k/le n:/left/ a_k/right/geq/varepsilon/right/}/right=0}for each /varepsilon>0, where /rho=(/rho_n) is a non – decreasing sequence of positive real numbers tending to /infty such that, /lim/below{n/rightarrow/infty}{{sup}_n/frac{/rho_n}{n}}</infty,/ / /mathrm{/Delta}/rho_n=O(1) and ({/ a}_k=a_{k+1}-a_k for each positive integer k. A subset A of ℝ is called /rho -statistically ward compact if any sequence of points in A has a /rho -statistically quasi- Cauchy subsequence. A real valued function defined on a subset of ℝ is called /rho –statistically ward continuous if it preserves /rho –statistically quasi Cauchy sequences where a sequence (a_k) is defined to be /rho –statistically quasi Cauchy if the sequence (/mathrm{/Delta}a_k) is /rho –statistically convergent to 0. We obtain results related to /rho –statistically ward continuty, /rho – statiscal ward compactness, ward continuty ,continuty, and uniform continuty. It turns out that the set of uniformly continuous functions includes the set of /rho –statistically ward continuous functions on a bounded subset of ℝ.