Oscillation problems of the closed seas

Abstract

KAPALI DENİZLERİN SALINIM PROBLEMİ ÖZET Belirli bir hacim içinde sınırlanmış akışkanların salınım problemi öteden beri araştırmacıların ilgisini çeken bir konu olagelmiştir. Özellikle geçen yüzyılın ikinci yansında bu konunun matematiksel yapısı oldukça detaylı olarak araştırılmıştır. Aslında salınım problemiyle ilgili ilk ciddi matematiksel çalışmalar Laplace'm Unlu gel-git denklemlerine dayanmaktadır. Bu denklemler, bir küre üzerindeki ince bir akışkan tabakasının belirli bir çekim kuvvetinin etkisiyle şekil değiştirip daha sonra serbest kaldığında denge konumu civarında yaptığı salınımlan incelemek için çıkarılmışlardır ve küre üzerindeki analitik çözümleri halen bulunamamıştır. Salınım probleminde en önemli iki kavram, söz konusu salınımı yapan akışkanın içinde bulunduğu ortamın geometrisi ve zorlama kuvvetinin doğasıdır. Deniz ve göllerle ilgili problemlerde buna ek olarak yoğunluk tabakalanması da göz önüne alınmalıdır. Yoğunluk tabakalanması sadece düşey salınımlan değil yatay salınımlan da etkiler. Düşey yoğunluk gradyanının bir ölçüsü olan Brunt-Vâisala frekansını sürekli bir fonksiyon kabul edersek düşey modların Sturm,Liouville türünden bir diferansiyel denklemle belirleneceği ortaya çıkar. Fakat ortamın geometrisi ve zorlama kuvvetine göre yatay modların bu düşey tabakalanmaya bağlılığı her seferinde farklı olur. Akışkanlar mekaniği literatüründe zorlama kuvveti, yoğunluk tabakalanması ve sınır ve taban geometrisini bir arada irdeleyen çok sayıda çalışma bulunabilir. Bu çalışmada düşey tabakalanma ve dünyanın dönme etkisi tamamen ihmal edilmiş ve sadece gelişigüzel geometriler içinde sınırlandırılmış akışkanlann irrotasyonel normal modlan üzerinde durulmuştur. Uygulama alanı olarak Marmara Denizi seçilmiştir. Salınım problemi en genel durumda, bir Helmholtz operatörünün özdegerlerinin bulunmasına indirgenmektedir. Helmholtz operatörünün özfonksiyonlan, irrotasyonel durumda, hiz potansiyeliyle, rotasyonel durumda ise akım fonksiyonuyla tanımlıdırlar. Her iki durumda da eliptik bir sistem söz konusudur ama irrotasyonel ve rotasyonel durumlara karşılık gelen sınır koşullan doğal olarak birbirlerinden farklıdır. İrrotasyonel durumda diferansiyel denklem, derinliğin sıfır olduğu değerler için tekildir. Rotasyonel modlar genel halde potansiyel girdaplılık sonucunda ortaya çıkıyor ise de batimetre tarafından da tetiklenebilirler, topgrafik dönme etkisi olarak adlandırılan bu etki bu çalışmada hesaba katılmamıştır. Sabit derinlikteki dikdörtgen, daire, elips gibi ortamlar için söz konusu problemin çözümü çok eskiden beri bilinmektedir. Derinliğin bir basamak fonksiyonu gibi düzenli değişiklikler yaptıği durumlarda da çözüm oldukça kolay bir şekilde bulunulabilmektedir. Burada izlenen yol, her sabit derinlik bölgesi için bir çözüm bulmak ve daha sonra da bunlan birleştirmektir. Örneğin içinde iki ayrı derinlik bölgesi içeren kare geometrisiyle sınırlı bir bölgede her iki bölge için de trigonometrik çözüm önerilebilir, buların argümanlannın katsayılarının toplamı, karenin bir kenannın uzunluğu kadar olur. Sınır üzerinde bu çözümler eşit olmalıdırlar, bu bize, sağlanması gereken birinci şartıverir. İkinci şart, akıların derinliklerle orantılı şekilde olması gerektiğidir. Bu iki şartı kullanarak her iki ortam için de geçerli olan frekans hesaplanabilir. Eğer sınırlar yukarıda belirtilen geometrilere uyuyorsa, bu yöntem çok bölgeli problemlere de uygulanabilir. Burada, bir ortamın normal modlarının fiziksel olarak ne anlam ifade ettiklerini de açıklamak yerinde olacaktır. Ortam, sahip olduğu normal modlarla (frekanslarla) çakışan zorlamalara genliğini arttırarak cevap verecektir. Genlik tabii ki sonsuza gitmeyecektir. Bu çalışmada, açık bir zorlama kuvveti formtilasyonundan yararlanılmamış ve sadece geometriden yola çıkılarak modlar hesaplanmıştır. Ortamların normal modlannı sayısal olarak hesaplamak için çok sayıda yöntem vardır. Bunlar sonlu farklar gibi ayrıklaştırma yöntemleri olabilecekleri gibi varyasyonel yöntemler gibi özdeğer problemini bir minimum değer bulma problemi haline dönüştüren yöntemler de olabilirler. Çalışmanın ilk bölümünde değinilen entegral yöntem, aslında Ritz-Rayleigh yöntemi olarak adlandırılır. Marmara örneğinde bu yöntem kullanılmamıştır ama konunun ana hatlarının anlaşılması yönünden bu bölümde bu yöntemin dayandığı ilkelere biraz değinilecektir. Söz konusu salınım problemi için tanımlanan akışkan kütlesinin sınırlan dikdörtgen bir zarf içine alındığında çok aykırı bir durum ortaya çıkmıyorsa, Ritz-Rayleigh yönteminde dikdörtgen bir baz fonksiyonu kullanılabilir. Bu, bir yaklaşık çözüm denemesidir ve özfonksiyonlann (yaklaşım yapılan bölgeye karşılık gelen özfonksiyonlann) bu baza göre bir toplama işlemini sağladıklarını kabul etmektedir. Dikdörtgen baza operatör tatbik edilip entegral alındığında Operatör matrisinin elemanları elde edilmiş olur. Entegral yaklaşımıyla problem iki ayrı şekilde çözülebilir. Birinci halde, elemanlari entegraller olan matrisin özdeğerleri bulunur, ikinci halde ise şimdi açıklayacağımız Rayleigh Kesri bulunmaya çalışılır. Her iki durumda da sınır şartı aynı yöntemle sağlanır. Sınırda, sınır düzlemine normal doğrultuda akıya izin verilmediği için seçilen bazin bu yöndeki gradyanınının normal vektörle çarpımı derinlik faktörüyle sıfıra eşit olacaktır. Baz, orijinal haliyle tabii ki bu şartı sağlamaz, sınır şartına karşılık gelen diferansiyel operatörün bazın hangi kısmını sıfıra gönderdiği bilinmelidir. Bu da bir tekil değer aynşımıyla (singular value decomposition) bulunabilir. Sınır şartını sağlayan baz bulunduktan ortogonal hale getirilir ve sonra da operatörü temsil eden entegrallerden kurulu matrisin özdeğerleri bulunabilir. Rayleigh Kesri yöntemi de aynı amaca hizmet eden, doğrudan en küçük Özdegeri bulmaya yarayan bir yöntemdir. Bu yöntemde operatör entegrali, kinetik enerji entegraline bölünür. Söz konusu kesirin özdeğere karşılık geleceği açıktır. En küçük özdegeri bulmak için bu oranın en küçük değerini bulmak gereklidir, bunun için her iki entegralin oranını minimize eden bir baz bulunmalıdır, bu baz, özfonksiyon, oran da en küçük özdeğere eşit olur. Bu çalışmada Marmara Denizi'nin salınım modlannı bulmak için bir sonlu farklar algoritması kulanılmıştır. Sonlu farklar algoritmasında birinci türevler için merkez farkları kulanılmıştır. Basit bir aynklaştırmaya dayalı olan bu yöntemde dikkat edilmesi gereken nokta, operatör matrisinin kendine eş olma özeliğine bir zarar gelmemesidir. Helmholtz operatörü teme olarak Laplace operatöründen Uremiştir ve kendine eştir, fakat salınım operatöründe bir derinlik ( h ( x,y) ) çarpanıvardır. Derinlik noktadan noktaya değiştikçe matrisin simetrikliğine bir zarar gelmemelidir, bu da hız potansiyelinin (veya akım fonksiyonunun) ve derinliklerin farklı noktalarda tanımlanmasını gerektirir. Diğer bir deyişle, dağınık bir ağ kullanmak gerekmektedir. Sayısal detay şöyle özetlenebilir; x yönünde indisler i ve y yönünde de j dersek birim ölçekte özfonksiyonlar i ve j'nin tamsayı değerlerinde, derinlik ise tam aradaki değerlerinde tanımlanır. Bu çalışmada yapılan uygulamada aradaki bu derinlik değerleri komşu noktaların ortalaması olarak tanımlanmıştır. Matrisin simetrikliği bu şekilde sağlanmıştır. Sınır şartı, sınıra dik yöndeki akının sıfır olmasını şart koşmaktadır. Akı, hız potansiyelinin gradyanıyla tanımlandığı için bu şart, söz konusu gradyanın sıfıra eşitliğine indirgenmektedir. Gradyanın sıfır olması, türev alınan doğrultuda, hız potansiyelinde hiç bir değişikliğin olmaması anlamına geldiği için, sınır değerleri, x ve y doğrultusundaki türevlerde komşu değerlerle aynı değerlere atanmışlardır. Operatör matrisi simetrikliğinin yanında hemen hemen bir band yapısı sunmaktadır, çünkü sayısal algoritma, sadece birbirine komşu olan noktalar arasında bağ kurmaktadır. Dikkat edilmesi gereken bir diğer nokta akışkanın içinde bulunduğu bölgeye karşılık gelen alanın konveksil i ğiyle ilgilidir. Hesaplama alanı (computation domain), elde edildikten sonra grid sistemindeki noktalar numaralanırken sadece akışkan tarafından işgal edilen alanların içinde kalan noktalar mımaralandırılmalıdır, bütün noktalar numaralandırılırsa matrisin boyutu anlamsız bir şekilde büyüyecektir. Bu durumda operatör matrisinin rankı korunduğu halde sıfır uzayı şişirilmiş olacaktır. Bu çalışmada uygulama alanı olarak seçilen Marmara Denizi, önce kare tabanlı bir grid sistemine dönüştürülmüş ve sonra da grid sistemine karşılık gelen noktalar tek boyutlu olarak numaralandırılmıştır. Marmara Denizi, 9 X 18 ölçeğinde bir dikdörtgenin içine oturtulmuştur. Grid ölçeği yaklaşık 8 kilometreye karşılık gelmektedir. Sonuç olarak elde edilen operatör matrisi 161 X 161 boyutunda olmuştur. Matris simetrik olduğu için bir çok paket programla bunu Householder dönüşümüyle tridiagonal hale getirmek ve özdeğerlerini de bulmak mümkündür. Her özdeğere karşılık gelen özvektör tek boyutlu bir kolon vektör şeklindedir, İki boyutta özvektörleri görebilmek için iki boyutlu hesaplama alanını tek boyuta geçirirken kullanılan dönüşümün ters dönüşümünü uygulamak gerekmektedir. Marmara Denizinin taban topografyası bu türden bir problem için önemli zorluklar oluşturmaktadır, zira Marmara temel olarak kuzeyde ve güneyde olmak üzere iki ayrı şelf ve bir de çok derin çukurdan oluşmaktadır. Özellikle güneydeki şelf oldukça sığdır (ortalama 100 metre) ve çok büyük bir alan kaplamaktadır. İki ayrı uygulama yapılmıştır. Bunların ilkinde topografya ihmal edilmiş ve düz bir deniz tabanı ele alınmıştır. İkinci uygulamada ise topografya bir bütün olarak hesaba katılmıştır. İlk irrotasyonel mod, doğal olarak her iki durumda da en düşük frekansı ve en geniş uzaysal yapıyı göstermektedir. Düz taban durumunda özvektör çizimleri çok düzenli çıkarken gerçek topografyada özvektör çizimleri oldukça karmaşık çıkmıştır. Özdeğerlerle ilgili sonuçlar teoriyle oldukça uyumludur. Modlar yükseldikçe modu sağlayan özdeğerlerin yoğunluğu da artmaktadır (density of state). Bütün çizimler Appendix A ve Appendix B bölümlerinde verilmiştir. Özdeğer listesi de Appendix C bölümünde verilmiştir.Bu çalışmada adaların ve boğazların etkisi tamamen ihmal edilmiştir. Adalar (çok bağımlı bölgeler) için son yıllarda oldukça etkili algoritmalar geliştirilmiştir. Boğazlar da genellikle dönüş içermeyen kanallar olarak modellenmektedir, ne var ki boğazların hesaba katılması önemli miktarda veri gerektirmektedir. irrotasyonel modların hesaplanması sadece salınım problemi yönünden değil, taşınim ve denizin genel dinamiği yönünden de önemlidir. Bu çalışmada hesaplanan modlar, denizin doğu- batı ekseninde yaptığı asimetrik salınımlara karşılık gelmektedir, zira asal mod, denizin uzun ekseni boyunca olacaktır. Zorlama kuvvetinin açık olarak geometriyle birleştirilmesi, fenomenolojik yönden çok ilginç sonuçlar ortaya çıkarabilmektedir. Çalışmanın sonunda hesaplanan ilk modların ne derecede denizin `asal` modlannı oluşturdukları, tartışma götürür bir konudur, zira şelfler denizde çok büyük yerler kaplamaktadır. Kullanılan grid sistemi, topografya gradyanın uyum sağlayacak şekilde tasarlanmadığı için, batimetri değişimleri hesaplarda çok ani bir şekilde ortaya çıkmaktadırlar. Kullanılabilecek alternatif bir teknik, burada anlatılan türde bir entegral yöntemle üçgen hücreler kullanmak olabilir. Bu, iki yönden avantaj sağlayacaktır; sınırlar çok daha kesin bir şekilde belirlenecektir, bu da akı operatörünün sıfır uzayının daha hassas bir Şekilde elde edilmesini sağlayacaktır. İkinci bir avantaj da topografya gradyanına göre hücrelerin ayarlanabümesidir. Rayleigh kesrinde veya matrisin içindeki entegrallerde yapılması gereken tek değişiklik, üçgen ortam için tanımlanan alan elemanından kaynaklanan Jakobien terimi olacaktır. Yapılan çalışmada, deniz yüzeyinin, üzerine yapılan pertUrbasyonlara yanıt olarak, yeni kazandığı denge konumu civarında salınım yaptıği kabul edilmiştir ve salınımlar, duran dalgalara karşılik gelmektedir. İrrotasyonel modlar kinetik enerjinin potansiyel enerjiye oranı birdir, oysa rotasyonel modlarda aynı iran çok büyüktür. İrrotasyonel modların özfonksiyonlannm reel kısmı modal uzaysal yapı küçüldükçe küçülür ve sığ alanlarda daha belirgin bir sinyal halini almaya başlarlar. Marmara denizi için daha önce yapılmış herhangi bir bir boyutlu kanal modellemesi yapılmadığı için bulduğumuz değerleri karşılaştırma olanağımız yok. Keşi olarak söyleyebileceğimiz tek şey, modalite arttıkça bir boyutluluk özelliğinin azalacağıdır. ŞEK 1. : Marmara - Baümetre ( 5 derece)ŞEK 2. : Marmara - Hesap domeni njn hassas batimetresi ŞEK 3. : Hesap domeni nümerik kare grid

SUMMARY Oscillations of liquid bodies has long been a subject of specific interest. There is a considerable amount of work done in that field of fluid mechanics. Especially British scientists have developed a huge amount of mathematics devoted to such kind of problems especially during the second half of nineteenth century and the first decades of this century. The oscillation and free surface problems were first approached by using mathematical formulations which were originally developed for general oscillation and membrane problems. For example, the pioneer works on the oscillation problem of liquids contained in elliptical pools were mainly based on the work of F. Mathieu who developed a theory for the oscillations of elliptical membranes in his well known paper ` Memoire sur le mouvement vibratoire d'une membrane de forme elliptique`. From oceanographical point of view, the problem of forced oscillations is still a subject of serious debates. The theories combining the explicit mathematical form of forcing, geometry and resulting oscillatory response are indeed well structured. But the dissipation mechanisms to the waves and vice versa should be studied through concrete measurements and the models. In this work, the irrotational oscillation problem has been studied. The basic theoretical framework is introduced for both rotational and irrotational modes but the application has been performed only for irrotational case. The problem has been exposed from variational point of view in order to give a complete meaning of the operator matrix, the aim of the study is to give a general picture of the oscillation problem of arbitrary closed basins and calculate irrotational normal modes of the Sea of Marmara by using a very simple discrete algorithm.