Neoclassical ratation of tokamak plasmas in the plateau regime

Abstract

ÖZET PLATO BÖLGESİNDE TOKAMAK PLAZMALARININ NEOKLASIK DÖNMESİ Gelecekteki bir tokamak reaktörünün başarılı çalışması ve deuterium ve tritium çekirdeklerini kaynaştırarak enerji üretebilmesi, o tokamak'ın enerji tutma performansının mertebesine bağlıdır. Son yıllarda tokamak deneylerinde `enerjinin tutulması` alçak(L-mod) ve yüksek(H-mod) değerleri cinsinden karakterize edilir. Alçak(L-mod)'da giriş gücünün artması halinde, tutma zamanının azalması dikkat çekmektedir. Bununla birlikte giriş gücünün bir kritik değerinden sonra, aniden yüksek tutma moduna (H-mod) geçiş gerçekleşir. H-mod'un tutma zamanı L- mod'unkinin zamanının 3 katına kadar çıkabilmektedir. L ve H modların, tokamak transport dengesinde bir dallanma oluşmasından doğduğu sanılmaktadır. Son yıllarda, Continuous Current Tokamak (CCT) ve ÜIU-D tokamaklarındaki deneylerde, H-mod geçişine poloidal dönme hızının büyük miktarda artmasının eşlik ettiği gözlemlenmiştir. Dolayısı ile, poloidal dönme hızının artmasının, L-H mod geçişinin bir nedeni olabileceği fikri ortaya atılmıştır. Bu çalışmada da, bu fikir benimsenerek, bazı deneysel gözlemlerin teorik yoldan açıklanmasına çalışılmıştır. ilk olarak taneciklerin radyâl akıları hesaplanmıştır, /l mc2 V,j «Kx tanecikler için mc2 Vn ~rx tanecikler için <Vr>2= -n-~^q E buna standart polarizasyon drifti eklenerek mc2. mc1. toplam radial akış bulunmuştur; <./. >~< nV,` >= ti mc2 d E ~W~aîİkinci olarak `guiding center` yaklaşımı kullanılarak f[r,0,V]],V1 I dağılım fonksiyonu için aşağıdaki drift kinetik denklemi yazıldı: d S dv// âf d(v/l) âf, v ât J dt âVn dt â(v/) Vf burada r, guiding center' in konumu, P,, ve V{ ise sırası ile guiding center' in magnetik alan yönüne parallel ve dik hızlarını gösterilmektedir. Buradan anlaşılacağı gibi, bu çalışmada kullanılan yaklaşım, mikroskopik seviyede olacaktır. Denklem l'de e'e göre bir perturbasyon analizi yapılırsa: K+F»)^-M/.)=°. (2) diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklem ise âfo/râ0,nm ihmal edilebilir boyutta olduğunu varsayarak st(f0) = 0 şeklinde yazılabilir. Bu son denklemin çözümü olan dağılım fonksiyonu ise, iyi bilinen H-teoremine göre bir Maxwell dağılım fonksiyonu şeklinde olmalıdır. Buna göre Maxwell dağılım fonksiyonu F-~-^hı^-[f-0]2) (3) şeklinde bulunur. Burada ortalama plazma hızı U(r,t) = U0 h biçimindedir. Bu ifadede yer alan çarpanların sırasıyla U0(r,t)«®Vth ve h- / + s cosO şeklinde oldukları kabul edilir. Plazmanın ortalama akış hızı, termal hızından çok daha küçük olduğu için denklem (3) 'ün eksponansiyel terimi seriye açılabilir. Bu serinin ilk terimi alınarak vth v Ih vth v th vth Y Ih vth r th ifadesi bulunur. Bu ifade (3)'te koyulursa,/. I +vth vj ' J K fonksiyonu için, taneciklerin dağılım fonksiyonu v// u Vth V ıh şeklinde bulunur. Burada fM Maxwell dağılım fonksiyonunu göstermektedir. Böylece toplam dağılım fonksiyonunun / = fM + / şeklinde olduğu göz önüne alınırsa, taneciklerin en genel dağılım fonksiyonu / = /` +e(mV]]U`/T)Cos9-fM+f biçiminde bulunur. Bulunan dağılım fonksiyonu (Denk.l)'de yerine konarak e mertebesi için f2L ât fif +K-«)^-<(/>^ sinö n{v*+V,2İ2) T W-fM (4) denklemi elde edilir. Burada W = -f + Vn + 0f/` + h nty*+V*)İ2T- Vr ve Vn =T/{eB)d/nn/dr, VT = T/(eB)d/nT/dr şeklindedir. <V/(/) ile plato bölgesinde ion çarpışma operatörü gösterilir. Bu operatör, çözümü basitleştirmek için St[f) = - veff. f şeklinde alınmıştır. Burada efektif çarpışma frekansı, veff =/ythjVA- vc şeklindedir. Bu problemin yaklaşık analitik çözümünü yapmak için elektrik alanının yavaş değiştiği kabul edilmiştir. Bu durumda VthlqR^veff »â/ât olur. Öte yandan bu yaklaşım, dağılım fonksiyonunun XIseri olarak açılmasına izin verir: yani, /=/, +/2 +?.- Her /, fonksiyonu ise,y)=2Ü/ja.exp(/ö-ö), şeklinde yazılabilir, burada i=l,2... a=±ldir- Bu yaklaşımı (T kullanılarak, sırası ile /, ve f2 fonksiyonları aşağıdaki gibi bulunur: qsind nrr x2y /, - yth ÇWfMx6+^2 âVB Wx*{x + k) (®Kl) x6 - 3y2 (x6+f2) (9vTy 6 `2 x -y (^fjj burada x = V{{/Vth,y =ryc/(®Vlh),k = VE/(®Vlh). Son olarak / = /`+/,+/, dağılım fonksiyonu oluşturularak, (/r) = (w^) = (2^)`' ]fVr(/+8Cos$)d3Vde (5) n denkleminde yerine konulursa radial akım denklemi y'r ) = 0 : f âV,, V*+V?/2 N <?/ JZ R J y2 +y2 h iiVdO = /, ` `. sin OdVdO (6) R biçimine gelir. Burada hız uzayının integral elemanı ve radial yöndeki hız ifadesi sırası ile dV = 27rdV,ldV?/2 V.=- ` +. ? si n 0 + r^ şeklinde verilir. mBR mB ât Denklem 6'da 0 'ya göre ve hız uzayında V,, ve VL 'ye göre integre ederek, xııdV` yB'S3+vn-s3+vT-s4 d* 1 + (8^) '/2 q2 (v2 -S + VE (V` -S + Vr- St ) - S2 ) (7) nonlineer diferensiyel denklemi elde edilir. Burada S,...S5, nümerik olarak hesaplanan bazı integral sabitlerdir. Üst çizgiler ise boyutsuz miktarları göstermektedir. Bunlar n V ' ` * u VT Ih v» _ ®ua - vp U = - - v =- - 1/ ' E V ' t = yy* biçimindedirler. Burada bütün hızlar termal hız Vth ile, (t) zamanı ise magnetik pompalama frekansı vM,, ile boyutsuzlaştırılmıştır. İkinci olarak, elde edilen bu diferansiyel denklem çözülmüştür. Denk. 5 bir sayısal çözüm yöntemi kullanılarak çözülebilirdi, fakat kesin çözüm bulunabileceği için aynı denklemin böyle bir çözümü tercih edildi. Böylece a ` bd-ae cd2 -ebd+ae2,=Ydx + s -x + d3 ?/n/dx+e)-sbt (8) /, _ _ I. - V87T 202 T ' 2 5 burada, a=-[, b=-^-(Vm+U0)+-^j-VT, c- 2 9 d=- q e- 'f<F. + u.)+'frr a,b,c,d, ve e birer parametre ve bu parametrelerde yeralan I integralleri aşağıda verilmiştir: xa + 2x4 +2xz ` -x (x6+v2) vexp(- - )dx.6, a. A, ^...2,V+x°+4x4+6xz. -x/, /-, = J- -7-6 - ^r ~vexp(- -)dx (x6 + v2) 2 Î6 o ~2...6 T »2x3 (*` + 2x'° + 2x8)exp(-^-)</x,(*6 + v2) -x 2 xiiih = J (*6 ~ yy (*` + *'2 + 4x'° + 6x8 ) exp(~-)dx x6 - v2 -x2 7s = J t 6 ^2(xs+2x6 + 2x4)exp(~- )</x _^(x +v2)2 ' rv 2 Bunları hesaplamak üzere JT-60U'nun deneylerinden elde edilen veriler kullanılmıştır. Denk. 8 'in çözümü, poloidal hızın değişiminde bir dallanma olduğunu göstermektedir. Bu ise, denklemin bir parabol denklemi şeklinde olmasından kaynaklanmaktadır. Ayrıca, logaritma nedeni ile oluşan asimptotun çözüğme önemli bir katkısı vardır. Elde edilen grafikten kolayca görülebileceği gibi, zamanın bir değeri karşısında poloidal dönme hızı iki değer alabilmektedir. Bu da; zamanın bir değerine karşı poloidal hızda bir atlamanın sözkonusu olabileceği anlamına gelir. Yani bir çalışma modunda iken, aniden başka bir moda geçiş mümkündür. Bu ise, tokamak deneylerinde gözlemlenen, ve rastgele oluşan alçak(L)-yüksek(H) ve yüksek(H)-çok yüksek(VH) mod geçişlerinin hangi mekanizma ile meydana geldikleri konusunda yepyeni bir yorum getirebilir. Çünkü radial elektrik alanın böyle atlayışlarına karşılık, plazma viskozitesinin de böyle atlayışları sözkonusu olabilmektedir. Bunu doğrulamak için de £/nin bu dallanmalarına karşı, turbulanslı transportta dallanma olup olmadığı kontrol edilmelidir. Yine de E /tün bulunan bu yeni davranışı, tek başına çok önemli bir sonuçtur. Çünkü bu konuda yapılan diğer araştırmalardan oldukça farklıdır. Buna örnek olarak: Galeev ve Sagdeev gibi Rus bilim adamlarının, plato bölgesinde buldukları radial elektrik alanının sönümlü bir karakterde olduğuna ve bu radial alanın `relaxation` oranının y-A,vx/3Vth/qR şeklinde olduğuna işaret edelim. Aradaki fark, poloidal hızın türetilmesinde sözüedilen bu çalışmada ihmal edilen bazı terimlerin de dikkate alınmış olmasıdır. xiv

SUMMARY The success of future tokamak operation, especially insofar as the attainment of energy multiplication and eventual ignition is concerned, is crucially depended on quality of energy confinement. Since its discovery in the ASDEX machine in 1984 characterization of tokamak energy confinement has increasingly been made in terms of its so-called enhanced or H-modes. The L-mode is characterized by a short confinement time with increasing input power. It has become evident, however, that beyond a critical power threshold, an enhanced confinement regime H-mode is achievable. Confinement time in the H-mode can be up to a factor of 3 higher than in the L-mode, and indications are that the L and H modes constitute a bifurcation in tokamak transport equilibria. In particular, the H-mode equilibria are characterized by the appearance of steep density and temperature profiles at the plasma edge and an almost complete disappearance, over the L-mode, of edge microturbulence. Since early 1 990s there came the discoveries, from several tokamak experiments, that the H-mode-like enhanced confinement is accompanied by and, perhaps, is a result of a large increase in the poloidal rotation of the edge plasma. Recently in the CCT device,for example, improved confinement is achived by applying an external torque to rotate the edge plasma; in DIII-D, the rotation is seen to set in spontaneously, with improvement in confinement appearing in a concomitant manner. Present thesis deals with a theoretical interpretation of the same aspects of the L-H mode transitions phenomenon. In particular, the time evalution of a radial electrical field at the tokamak edge is analysed, in order to understand the underlying mechanismas such as poloidal plasma rotation and plasma temperature and density gradients. For this purpose, one treat the plasma drift kinetic equation for ions in the plateau regime of collisions. Then, a perturbative solution of this equation yields the ion distribution function. Then an approximate analytical procedure assuming the slow evolution of the electric field will be considered. This will allow the expansion of the distribution function in a series corresponding to the time ordering. As the radial current must vanish, we set for average radial current the expression equal to zero. Since the resulting radial flux has a mass dependence, only ion distribution function is substituted in the flux equation, where by integration in velocity space a nonlinear differential equation for poloidal rotation velocity is obtained. Exact solution of this equation is obtained by means of integration. Then we apply our results to the experimental data from the Japanese JT-60U device, to demonstrate that the time evolution of the radial electric field indicate a bifurcation prior to the L-H mode switch. These results demonstrate a bifurcation of the poloidal rotation velocity, which seems to be consistent with the experimental discoveries in the CCT and DIII-D devices, during a L to H mode switch.