Weyl uzaylarının konharmonik dönüşümü

Abstract

WEYL UZAYLARININ KONH ARMONİK DONUŞUMU ÖZET Bu çalışmada, gij metrik tensörü ve Tk komplemanter vektörü ile verilen Wn(gij,Tk) Weyl uzaylarımla konharmonik dönüşümü tammlanmış ve bu dönüşüm altında, bazı özel Weyl uzaylarının özellikleri incelenmiştir. Bu çalışma, üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, Weyl uzaylarına ait bazı temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. ikinci bölümde, Weyl uzaylarında konharmonik dönüşüm tammlanmış ve bu dönüşüm altında invaryant kalan büyüklükler elde edilmiştir. Daha sonra, bu ifadelerin yardımıyla, bazı Weyl uzaylarının konharmonik dönüşümü ile ilgili teoremler ispatlanmıştır. Teorem: r : Wn - * W* konform dönüşümünün konharmonik olması için gerek ve yeter koşul, Wn'nin skaler eğriliğinin invaryant kalmasıdır. Teorem: r : Wn - > W* konform dönüşümünün konharmonik olması için gerek ve yeter koşul, T1 - gljTj olmak üzere, g^VjTı + i(n - 2)TlTi ifadesinin invaryant kalmasıdır. Teorem: r : Wn - > W* konharmonik bir dönüşüm olsun. Bu dönüşüm altında Wn ve W* Weyl uzaylarının Ricci-Rekürant olması için gerek ve yeter koşul 2 Pkij = j2^njPk[ij] (1) olmasıdır, burada Pkij = VfcPy - faPij - PkjPi - PikPj + 9ikPhPhi + 9JkPhPih (2) Pkm = vfePW] - falısı - P[kj/Pi - P[ik]Pj + 9ikPhP[hj] + gjkPhP/ih/ (3) PliJ]=^UPi] (4) dir. n Teorem: Wn ve W* Ricci-Rekürant Weyl uzayları olsun. Eğer r : Wn - ? W, konharmonik bir dönüşüm ise PhR[hj] - 0 bağıntısı sağlanır. Teorem: Wn ve W* uzaylarının Einstein- Weyl uzayları olduğunu kabul edelim, r : Wn - > W* konformal dönüşümünün aym zamanda konharmonik bir dönüşüm olması için gerek ve yeter koşul, Rfâ) tensörünün invaryant kalmasıdır. Teorem: Wn ve W* uzaylanmn Einstein- Weyl uzayları olduğunu kabul edelim, r : Wn - > W* konformal dönüşümünün aym zamanda konharmonik bir dönüşüm olması için gerek ve yeter koşul, Py = VyPi] olmasıdır. ivÜçüncü bölümde ise, konharmonik eğrilik tensörü elde edilmiş ve bu tensor yardımıyla konharmonik eğrilik tensörüne sahip rekürant, ricci-konharmonik-rekürant ve ricci- konharmonik-birekürant Weyl uzayları tammlanarak bu uzaylara ait aşağıdaki teoremler ispatlanmıştır. Teorem: n-boyutlu bir Weyl uzayının K^k konharmonik eğrilik tensörü aşağıdaki bağıntıları sağlar: Kijk + Kjki + Kkij (5) Kijk = -Kikj (6) 1_ 2-71* KH = W-Z9üR (Ki, = K*jh) (7) Teorem: Wn Weyl uzayı konharmonik eğrilik tensörüne sahip rekürant bir uzay ise, 4>s - 1Ta ifadesi lokal olarak gradyenttir. Teorem: Wn Weyl uzayı ricci-rekürant bir uzay olsun. Eğer Wn, konharmonik eğriliğe sahip rekürant bir Weyl uzayı ise, bu uzay aynı zamanda reküranttır. Teorem: Wn uzayı ricci-konharmonik-birekürant tensörüne sahip bir Weyl uzayı olsun. (j)sr birekürans tensörünün simetrik olması için gerek ve yeter koşul, Wn'nin Riemannien olmasıdır. Teorem: Wn Weyl uzayına ait konformal eğrilik tensörü Cyfc ve konharmonik eğrilik tensörü K^k olmak üzere, bunlar arasında #yk = C%h + -^z^Kii - 6$Kik) (8) bağıntısı mevcuttur. Teorem: Wn Weyl uzayı konharmonik rekürant bir uzay ise, aynı zamanda konformal reküranttır.

CONHARMONIC TRANSFORMATIONS OF WEYL SPACES SUMMARY In this work, the properties of some special Weyl spaces, under a conharmonic transformation are investigated. This work contains three chapters. In chapter I, the fundamental definitions and theorems concerning the Weyl space Wn(gij,Tk) are given. In chapter II, the conharmonic transformations of Weyl spaces are defined and the invariants of this transformation are obtained. Next, by means of these invariants, the following theorems concerning the conharmonic transformations of some Weyl spaces are proved. Theorem: In a Weyl space Wn(gij,Tk), a necessary and sufficient condition that the conformal transformation r : Wn - * W* be conharmonic is that the scalar curvature be unaltered. Theorem: In a Weyl space Wn(gij,Tk), a necessary and sufficient condition that the conformal transformation r : Wn - > W* be conharmonic is that the expression gijVjTi + i (2 - n)T% be unaltered, where T* = gijTj. Theorem: Let r : Wn - > W* be a conharmonic transformation. Under this transformation, a necessary and sufficient condition that Wn and W* be two ricci- recurrent Weyl sapces is that the expression 2 Pkij = (^2) Pk[ij] (1) be satisfied, where Pkij = VkPij - faPij - PkjPi - PikPj + gikPhPhj + gjkPhPih (2) Pk[ij] = VifcPfo-] - <j*kPm - Plkj]Pi - P^Pj + gikPhP[hj) + 9ikPhP[ih] (3) %1-VyP*] (4) Theorem: Let Wn and W* be ricci-recurrent Weyl spaces. If r : Wn - > W* is a conharmonic transformation, then the condition PhR{hj] = 0 holds. Theorem: Let Wn and W* be two Einstein- Weyl spaces. A necessary and sufficient condition that r : Wn -> W* be a conharmonic transformation is that R{ij) be an invariant. Theorem: Let Wn and W* be two Einstein- Weyl spaces. A necessary and sufficient condition r : Wn - » W* be a conharmonic transformation is that the condition Pij = VyPj] be satisfied. viIn chapter III, the conharmonic curvature tensor is obtained and by means of this tensor, conharmonically recurrent, ricci-conharmonic-recurrent and ricci-conharmonic- birecurrent Weyl spaces are defined. In this case, the following theorems concerning these spaces are proved. Theorem: In an n-dimensional Weyl space, the conharmonic curvature tensor, K^k, satisfies the following conditions: Kijk + Kjki + Kkij (5) K%k = -K?kj (6) KV = öZ^SüR (*y = K?jh) (7) Theorem: If Wn Weyl space is a conharmonically recurrent, then <f>a - 2TS is locally gradient. Theorem: Let Wn be a ricci-recurrent Weyl space. If Wn is conharmonically recurrent Weyl space, then Wn is recurrent. Theorem: Let Wn be a ricci-conharmonic-birecurrent Weyl space. A necessary and sufficient condition that the birecurrence tensor (j>3r be symmetric is that Wn be a Riemannien. Theorem: Let C^k be the conformal curvature tensor and K^k be the conharmonic curvature tensor of a Weyl space. Then the condition KW = Cijk +.^ZÎ<ftK*3 ~ 6iK*) (8) holds. Theorem: If Wn is a conharmonically recurrent Weyl space, then it is also conformally recurrent. Vll