Ortaöğretim matematik öğretmeni adaylarının muhakeme hatalarının ispatlama bağlamında incelenmesi

Abstract

Matematiksel ispat; matematikteki tanım, aksiyom, teorem, sembol, simge gibi soyut kavramların anlam kazanması; matematiğin temel bileşenlerinin birbirleriyle olan ilişkilerinin açıklığa kavuşmasını sağlayan en önemli yapıdır. Bu bakımından ispat matematiksel bir sonucun doğruluğunu gösterme ya da basit bir matematiksel işlemden ziyade ilişkilendirme, soyutlama, sezgi, genelleme ve muhakeme gibi yoğun zihinsel faaliyetleri içeren bir süreçtir. Muhakeme; ispat sürecinde keşfetme, stratejiler geliştirme, varsayımda bulunma gibi becerilerinin kullanılmasını sağlayan bir araçtır. Bu nedenle matematiğin merkezinde yer alan ispat ve muhakeme birçok araştırmacı tarafından bir bütün olarak ele alınmaktadır. Matematiksel muhakeme bireylerin ulaştıkları sonuçlarda tutarlı ve mantıksal karar vermelerini sağlar ve en fazla ispat sürecinde kullanılır. Doğru bir ispat anlayışının gelişimi ancak bireylerin çeşitli mantıksal düşünme yollarını kazanmasına bağlı olarak gerçekleşir. Öğrenciler ispat sürecinde muhakemeler yürüterek bazı stratejiler geliştirirler. Ancak bazen bu stratejiler sonucunda sistematik bir yanılgıya düşerek geçersiz ispatlar oluştururlar. Bu yanılgılar muhakeme hatası olarak nitelendirilmektedir. Özelikle lisans düzeyinde matematik öğretmeni adayları matematiğin soyut ve aksiyomatik yapısıyla karşılaştıklarından matematiksel kavramlar, kavramlar arası ilişkileri, tanım ve teoremleri anlama, bunları yorumlayarak ispat oluşturmada ve doğru muhakemeler yürütmede çeşitli zorluklar yaşamaktadır. İspat sürecinde öğrencilerin doğru bir muhakeme geliştirmeleri, matematiksel ilişkileri anlama bakımından önemlidir. Bunun için bu süreçte öğrencilerin sahip olduğu hatalı muhakemelerinin belirlenmesi ve üniversite eğitimi boyunca bu hatalarının gelişimsel olarak nasıl değiştiğinin incelenmesine yönelik çalışmaların yapılması önemlidir. Bunun yanı sıra lisans düzeyinde ispatların yoğun olarak işlendiği ve doğru muhakemelerin geliştirmesinde kilit bir rol oynayan derslerde ispat sürecinde muhakemeye odaklanan noktalarının neler olduğunun belirlenmesi, bu süreçte ileriye sürülen muhakeme hatalarının analiz edilmesi önemlidir.Bu çalışma ile ortaöğretim matematik öğretmeni adaylarının ispat sürecinde sahip oldukları muhakeme hataları, muhakeme eksiklikleri ve muhakeme boşluklarını belirleme, üniversite eğitimleri boyunca bu hatalarının gelişimsel olarak nasıl değiştiğini inceleme ve bu süreçte aldıkları bazı derslerin; matematiksel muhakemelerini geliştirme, uygun stratejiler belirleme ve muhakeme hatalarının üzerindeki rolünün ne ölçüde olduğunu derinlemesine analiz etme amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda farklı sınıf seviyelerinde (1, 2, 3, 4 ve 5. sınıf) yer alan matematik öğretmeni adaylarının lisan eğitimleri boyunca muhakemelerinin nasıl bir değişim gösterdiğini belirleyebilmek için enlemsel bir gelişimsel araştırma tasarlanmıştır. Araştırmanın verileri; muhakeme hataları belirleme testleri, klinik ve yarı yapılandırılmış mülakatlar, ders gözlemleri, alan notları ve ispat sürecinde alınan ses-video kayıtları aracılığıyla elde edilmiştir. Çalışmada gözlemler sonucunda elde edilen veriler, geliştirilen gözlem formu ile analiz edilmiştir. Muhakeme hataları belirleme testleri ve klinik mülakatlardan elde edilen verileri analiz etmek için de geliştirilen muhakeme hataları belirleme ölçeği kullanılmıştır.Araştırmanın sonucunda farklı sınıf seviyesinde yer alan öğretmen adaylarının ispat sürecinde benzer muhakeme hataları, muhakeme eksiklikleri ve muhakeme boşluklarına sahip oldukları belirlenmiştir. Bununla birlikte muhakeme hataları, eksiklikleri ya da boşlukların yoğunluk bakımından sınıf seviyelerine göre dikkate değer bir oranda değişim göstermiştir. İspat sürecinde özel bir durumdan elde edilen sonucun ispat olarak kabul edilmesi, yanlış varsayımlarla başlama gibi muhakeme hataları; matematik dilini kullanmada yetersizlik, ispata başlayamama veya başlanan bir ispatı devam ettirememe gibi muhakeme eksiklikleri; yazılan ispat adımları ile elde edilen sonucun uyuşmaması, kullanılan önermelerin gerekçelerinin sunulmaması gibi muhakeme boşluklarının üst sınıflara doğru önemli ölçüde azaldığı görülmüştür. Buna karşın sonuç ile başlama, ilgili matematiksel ifadesinin tanım aralığını dikkate almama, teoremin karşıt tersinin kendisinin mantıksal dengi olduğunun farkına varılamaması gibi hata, eksik veya boşluklarının direnç gösterdiği görülmüştür. Ayrıca ispatların yoğun olarak işlendiği farklı derslerde muhakeme veya muhakeme hataları ile ilgili odaklanılan bileşen ve göstergeler matematik dili ve sistematikleştirme, öğrenci muhakemesine odaklama ve ispat yöntemleri boyutlarında farklılaşmıştır. Araştırmadan elde edilen sonuçlar doğrultusunda lisans düzeyinde ispatların yoğun olarak işlendiği derslerde öğretmen adaylarının doğru muhakemeler geliştirmeleri için öğretim elemanlarının nelere dikkat etmeleri gerektiği yönünde önerilerde bulunulmuştur.

Mathematical proof is the most important, component that enables the abstract terms in mathematics like definition, axiom, theorem, symbol, sign to have a meaning and the relationships of mathematics' main components between each other to reveal. In this regard, proof, rather than showing the validty of a mathematical result or being a basic mathematical operation, is a process that includes intensive cognitive operations like association, abstraction, anticipation, generalisation and reasoning. Reasoning, is a tool that enables abilities like discovering, developing strategies and making hypotheses to be used during proof process. Therefore proof and reasoning which are in the center of mathematics are handled as a whole by lots of researchers. Mathematical reasoning enables the individuals to make consistent and reasonable decisions on the results they obtained and it is employed in the proof process most. The development of a proper proof understanding occurs only when individuals gain various mental thinking ways. The students develop some strategies through making reasonings in the proof process. But sometimes they generate invalid proofs after falling into a systematic error as a result of these strategies. These errors are called as reasoning errors. Especially the pre-service mathematics teachers at the undergraduate level, because they meet with the abstract and axiomatic side of the mathematics, have difficulties in comprehending the mathematical concepts, the relationships between the concepts, definitions and theorems, in generaing proofs through interpreting those and in making right reasonings. That the students develop right reasoning in proof process is significant in terms of undertstanding mathematical relations. Therefore in this process determining the students's wrong reasonings and conducting studies aimed at investigating how these errors developmentally altered during their university education is important. Moreover detecting the points focusing on reasoning during proof process in the courses where proofs are taught intensively at the undergraduate level and that have critical roles in developing right reasonings and analyzing the reasoning errors made during this process are also important.This study aims to determine the pre-service high school mathematics teachers' reasoning errors, reasoning deficiences and reasoning gaps in proof process, to investigate how these errors alter developmentally during their university education and to analyze deeply to what extent do the some courses attended by the students during this process effect developing mathematical reasoning, determining appropriate strategies and reasoning errors. In line with this purpose, a developmental research was designed to determine how reasonings of the pre-service mathematics teachers at different grade levels (1., 2., 3., 4. and 5. grade) changed during their university education. The data was collected through tests for determining reasoning errors, clinical and semi-structured interviews, course observations, fieldnotes and audio-video recordings obtained during proof process. The data obtained through observations was analyzed with the aid of a observation form. For analyzing the data from the tests for determining reasoning errors and from clininical interviews, the reasoning errors determination scale was employed.In consequence of the study it was found that the pre-service teachers at different grades have similar reasoning errors, reasoning defficiencies and reasoning gaps in proof process. Besides, reasoning errors, deficiencies or gaps showed significant alteration in terms of frequency according to the grade levels. Reasoning errors like considering a result obtained from a special case as a proof and starting with wrong assumptions, reasoning defficiencies like inability in using mathematical language, failure in starting proof or in continuing a already started one, reasoning gaps like conflict between the written proof steps and the obtained result, not stating the justifications for the utilized suggestions were seen to decrease towards higher grades significantly. On the other hand reasoning errors, deficiencies or gaps like starting with the result, ignoring the definition range of the related mathematical statement, not recognizing that the Contrapositive of a theorem is its equivalent were observed to resist. Moreover, at the courses where proofs are taught intensively, components and indicators focused on reasoning and reasoning errors differentiated at the dimensions of mathematical language and systematization, focusing on student reasoning and proofing techniques. In accordance with the results obtained from the study, some recommedations on what the lecturers should pay attention to for enabling the pre-service teachers to develop right reasonings in the courses where proofs are taught intensively at the undergraduate level are given.