Anahtarlanmış doğrusal sistemlerin kararlılığının incelenmesi

Abstract

Bu çalısmada, bir altsistemler ailesinden ve bu altsistemler arasındaki geçisleri yönetenbir anahtarlama kuralından olusan anahtarlanmıs sistemler genel olarak incelenmis; vealtsistemler ailesinin her bir üyesinin dogrusal oldugu durumda olusan anahtarlanmısdogrusal sistemlerin kararlılıgına iliskin literatürde bulunan üç temel problemtanıtılmıstır. Bunlardan keyfi anahtarlama problemi olarak adlandırdıgımız birinciproblemde anahtarlama isareti ne olursa olsun sistemin kararlı olmasının kosullarınıaranır. Kararlılastırma problemi olarak adlandıgımız ikinci problemde ise verilmis biraltsistemler ailesini kararlı kılan bir anahtarlama isaretinin varlıgı ve ne olduguarastırılır. Çalısmamızda bu iki probleme iliskin birincisinde ortak Lyapunovfonksiyonu bulunmasına ikincisinde ise altsistemlere iliskin matrislerin bir Hurwitzkonveks kombinasyonunun bulunmasına dayanan literatürde bulunan iki çözümanlatılmıstır. Uygun anahtarlama isaretleri kümesini bulma problemi olarakadlandırdıgımız üçüncü problem ise verilmis bir altsistemler ailesini kararlı kılan özelanahtarlama isaretleri kümelerini bulma problemidir. Bu probleme iliskin kendigelistirdigimiz bir yaklasım sunulmustur. Anahtarlanmıs sistemlerin iteratiffonksiyonlar sistemlerine dönüstürülmesine dayanan bu yaklasım ile anahtarlanmıssistemin kararlı olması için anahtarlama isaretindeki sabit aralıkların minimumuzunlugunun belli bir degerden büyük olmasına dayanan bir yeter kosul verilmistir. Sonolarak elde ettigimiz sonuçlar iki örnek üzerinden degerlendirilmis ve elde edilensonuçların bu konuyla ilgili yapacagımız ileriki çalısmalar konusunda isaret ettigi yönlertartısılmıstır. Özellikle altsistemlere iliskin matrislerin özvektörlerinin yakınlıgınadayalı bir açıklama ile uygun anahtarlama kümesini bulma problemine iliskin birçözüm yoluna isaret edilmistir.Anahtar Kelimeler: anahtarlanmıs sistemler, anahtarlanmıs dogrusal sistemler,kararlılık.

In this study, switched systems, which consist of a family of subsystems and a switchingrule that controls the switching between the subsystems, are explained generally, and thethree problems founded in literature on the stability of switched linear systems, whicharise in the case that all the subsystems are linear, are introduced. Among these, the firstone called the arbitrary switching problem deals with finding the conditions that resultsin the stability of the switched system independent of the switching signal. The secondone called the stabilizing problem considers how to find a stabilizing switching signal fora given family of subsystems. In the thesis we explained the two approaches to find thesolution of these problems which depends on the presence of common Lyapunovfunction for the former, and on finding a Hurwitz convex combination of the subsystemmatrices for the latter. The third problem that we called the problem of finding theproper set of switching signals concerns with some special sets of switching signalsforming a stable switched system for a given family of subsystems. We presented ourown approach to solve this problem. By the approach of converting a switched system toan equivalent iterated function system, a sufficient condition is presented based on theminimum length of the intervals where the switching signal is constant. Finally, wediscuss on some issues for future research that the study points out.Keywords: switched systems, switched linear systems, stability.