Stationary and 2+1 dimensional integrable reductions of AKNS hierarchy

Abstract

Soliton teorisinin ana kavramları ve lineer olmayan evrim denklemlerinin AKNS (Ablowitz, Kaup, Newel, Segur) integrallenebilir hiyerarşisini içeren son suz boyutlu hamiltoniyen sistemlerine bir giriş yapıldı. Bu hiyerarşide çeşitli in dirgemeler yapılarak, integro-differensiyel tekrarlama operatörü yardımı ile, KdV, MKdV, ve karışık KdV/MKdV nin ve de reaksiyon-difuzyon denklemleri elde edildi. Beşinci derece KdV nin durağan indirgenmesi, Henon-Heiles tipi sonlu boyutlu integrallenebilir sistemi ile ilişkilidir. Henon-Heiles tipi sonlu boyutlu in tegrallenebilir uzantilari, Hamilton- Jacobi teorisindeki ilgili değişkenlerin yardımı ile bulundu. AKNS hiyerarşisinin ikinci ve üçüncü üyelerini kullanarak 2+1 boyutlu Kadomtsev-Petviashivili (KPII) denklemini çözmek için yeni bir yöntem sunuldu. Hirota bilineer yöntemi vasıtasıyla KPII nin bir ve iki soliton çözümleri bulundu ve ayrıca bunların karşılıklı etkileşimlerinin rezonans karakteri çalışıldı. Yeni bulduğumuz bilineer form ile ilk defa KP için dört sanal soliton rezonans çözümünü elde ettik. Son olarak Satsuma ve Hirotamn yozlaşmış dört soliton çözümü ile bizim iki soliton çözümümüz arasındaki ilişki kuruldu.

The main concepts of the soliton theory and infinite dimensional Hamil- tonian Systems, including AKNS (Ablowitz, Kaup, Newell, Segur) integrable hierarchy of nonlinear evolution equations are introduced. By integro-differential recursion operator for this hierarchy, several reductions to KDV, MKdV, mixed KdV/MKdV and Reaction-Diffusion system are constructed. The stationary re duction of the fifth order KdV is related to finite-dimensional integrable system of Henon-Heiles type. Different integrable extensions of Henon-Heiles model are found with corresponding separation of variables in Hamilton- Jacobi theory. Us ing the second and the third members of AKNS hierarchy, new method to solve 2+1 dimensional Kadomtsev-Petviashvili(KP-II) equation is proposed. By the Hirota bilinear method, one and two soliton solutions of KP-II are constructed and the resonance character of their mutual interactions are studied. By our bilinear form we first time created new four virtual soliton resonance solution for KPII. Finally, relations of our two soliton solution with degenerate four soliton solution in canonical Hirota form of KPII are established.