Integrable vortex dynamics and complex Burgers` equation

Abstract

Adı-Soyadı: Zeynep Nilhan GÜRKANOkul: İzmir Yüksek Teknoloji EnstitüsüAnabilim Dalı: MatematikProgramı: Matematik (Yüksek Lisans)Tez Başlığı: İntegrallenebilir Vorteks Dinamiği ve Karmaşık Burgers'DenklemiÖZETTezimde düzlemde noktasal manyetik vorteks etkileşimlerinin integrallenebilirdinamik modellerini çalıştık. Vorteks özelliğinin bulunabilmesi için Euler denklemleriHelmholtz formunda yeniden yazılarak Hamilton ve Lax gösterimlerini bulduk. Budenklemlerin noktasal vorteksler için Kirşof denklemlerine indirgenmesi ve Nâ¥4hidrodinamik vorteks sisteminin integrallenebilir olmadığını tartıştık. Sabit akım içinverilen vorteks özelliği ile düzlemsel hareketin integrallenebilir bir modeli olarakLiouville denklemi ve çözümlerini inceleyerek sabit olmayan akımlar için noktasalvorteks difuzyonunun tam çözümlü durumu ve bir boyutlu Burgers denkleminin tamçözümlü başlangıç değer problemini çözdük. Karmaşık Cole-Hopf dönüşümünükullanarak N-vorteks dinamiği ile Karmaşık Burgers denklemi tanıtıp, karmaşıkSchrödinger denklemi cinsinden linearizasyonunu bulduk. Bunu bulmamız karmaşıkHermite polinomları ve vorteks zincir latisleri cinsinden N-vorteks konfigurasyonunukurmamıza ve ortak dinamiklerini çalışmamıza izin vermiştir. Problemimizi N parçaproblemine çevirerek karmaşık Calogero-Moser sisteminin integrallenebilirliği veHamiltonyen yapısını bulduk. Genel sonuçların bir uygulaması olarak manyetikakışkan modelindeki manyetik vorteks problemini ele aldık. Topolojik manyetiksistemin doğrusal karmaşık Schrödinger denklemine indirgenmesi, KarmaşıkBurgers' denklemindeki integrallenebilir vorteks dinamiği üzerindeki tüm sonuçlarımanyetik vorteks evrimine, manyetik vorteks kafeslerine ve vortekslerin sınırdurumlarına uygulamamıza izin vermiştir.

Name: Zeynep Nilhan GÜRKANSchool: Izmir Institute of TechnologyDepartment: MathematicsMajor: Mathematics (Master)Title of Thesis: Integrable Vortex Dynamics and Complex Burgers? EquationABSTRACTIntegrable dynamical models of the point magnetic vortex interactions in theplane are studied.Reformulating the Euler equations for vorticity in the Helmholtzform, the Hamiltonian and Lax representations are found. Reduction of theseequations for the point vortices to the Kirchhoff equations, and non-integrability ofthe system of N ⥠4 hydrodynamical vortices are discussed. As an integrable modelof planar motion with given vorticity for the stationary flow, the Liouville equationand its solutions are given. For non-stationary flows, exactly solvable case of pointplanar vortex diffusion and exactly solvable Initial Value Problem for the onedimensional Burgers equation are solved. By the complexified Cole-Hopf trans -formation, the complex Burgers equation with integrable N vortex dynamics isintroduced and linearization of this equation in terms of the complex Schrödingerequation is found. This allows us to construct N vortex configurations in terms of thecomplex Hermite polynomials, the vortex chain lattices and study their mutualdynamics. Mapping of our vortex problem to N-particle problem, the complexifiedCalogero-Moser system, showing its integrability and Hamiltonian structure is given.As an application of the general results, we consider the problem of magnetic vorticesin a magnetic fluid model. The holomorphic reduction of topological magnetic systemto the linear complex Schrödinger equation, allows us to apply all results onintegrable vortex dynamics in the complex Burgers equation to the magnetic vortexevolution, including magnetic vortex lattices and the bound states of vortices.