Classical and quantum Euler equation

Abstract

Bu tezde, daılımlı dinamik sistemlerin tarifi için analitik mekanikte birgenelleme verilmitir. Bu durumda, Lagrangianın kinetik kısmı duraan ve köegenolmayan Riemannianımsı (pseudo-Riemannian) metrik ile genelletirilmikoordinatlarda ve hızlarda belirlenmitir. Yaklaımımızda simetrik ve köegen olmayanterimler daılma katsayısı rolü oynamıtır. Bir uygulama olarak klasik sönümlüharmonik salınıcı detaylıca çalıılmıtır. Bu salınıcının iki bilinen formulasyonunun;Bateman dual formulasyonu ve Cardirola-Kanai formulasyonu, genel yaklaımımızınözel durumları olarak ortaya konulmutur. Her iki modelin temsilinde de Hamiltonianformulasyonu verilmi, ayrıca kuantizasyon yapılmıtır. Yüksek dereceden türevlisistemlerin tanımı için Lagrangian ve Hamiltonian formalisimlerinin Ostogradskigenellemesi verilmi ve bunun geliigüzel sabit katsayılı denklemlere uygulamasıyapılmıtır. Son olarak geliigüzel dereceli Euler diferansiyel denklemini verenLagrangian ve Hamiltonian yapıları çalıılmıtır. Kuantum Euler sistemleri tanıtılmı veduraan Schröndinger resmi için çözümlenmitir. Geliigüzel Euler Hamiltonianakarılık gelen duraan olmayan lineer olmayan kuantum modelleri Heisenbergresminde tam olarak çözülmütür.

In the present thesis we give generalization of analytical mechanics to describedynamical systems with dissipation. The Lagrangian function in this case is determinedby nonstationary pseudo-Riemannian metric for the kinetic energy, and by generalquadratic form, nondiagonal in the generalized coordinates and velocities. Skewsymmetric nondiagonal terms in our approach play the role of dissipation coefficients.As an application we study in details the classical damped harmonic oscillator. We showthat two known formulations of this oscillator, the Bateman dual and the Caldirola-Kanai formulations are particular realizations of our general approach. TheHamiltonian formulation and quantization of the model in both representations aregiven. Moreover Ostrogradsky generalization of Lagrangian and Hamiltonianformalism for description of systems with higher order derivatives and its application tothe constant coefficient equations of an arbitrary order are considered. We constructrelated with the last one the Euler differential equation of an arbitrary order and itsLagrangian and Hamiltonian structure. Quantum Euler systems are introduced andsolved for the stationary Schr¨odinger picture. Nonstationary nonlinear quantummodels corresponding to arbitrary Euler Hamiltonian are solved exactly in theHeisenberg picture.