Nonlinear Euler Poisson Darboux equations exactly solvable in multidimensions

Abstract

Küresel ortalama metodu iyi bilinen ve yüksek boyutlu kısmi türevli diferansiyel denklemler için başlangıç değer problemlerini çözmekte oldukça kullanışlı bir metottur. Bu metotla yüksek boyutlu problem kolaylıkla çözülebilen bir boyutlu probleme indirgenir. Fakat bu metot doğrusal kısmi türevli diferansiyel denklemlerle sınırlıdır ve doğrusal olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemlere uygulanamaz. Biz bu tezde küresel ortalamanın özelliklerini ve küresel ortalamayla ilişkilendirilebilen doğrusal olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemleri çalıştık. İlk olarak küresel ortalamanın temel tanımlarını, doğrusal ısı ve dalga denklemlerine uygulamalarını yeniden inceledik. Daha sonra küresel ortalamanın operatör temsilini iki ve üç boyutlu uzaylarda çalıştık. Küresel ortalamanın karmaşık uzayda modifiye üstel fonksiyon tarafından belirlendiğini bulduk. Bu fonksiyonların özelliklerini ve değişken katsayılı ısı denklemine bir çok uygulamalarını çalıştık. Daha sonra Lioville, Sinüs Gordon ve Hiperbolik tipte Sinüs hiperbolik Gordon formunda doğrusal olmayan dalga denklemleri tek boyutlu uzaylarda verildi. Bazı fonksiyonel kombinasyonlarla bu denklemlerin 1+1 boyutlu yarı doğru üzerine indirgenebicekleri gösterildi. Backlund transformasyonu ve progresif dalga tarzındaki kesin çözümler oluşturuldu. Daha sonra Liouville ve doğrusal olmayan Burgers denklemi için başlangıç değer problemleri çözüldü. Çözümlerimizin yüksek boyutlu küresel simetrik problemlere uygulamarı tartışıldı.

The method of spherical means is the well known and elegant method of solving initial value problems for multidimensional PDE. By this method the problem reduced to the 1+1 dimensional one, which can be solved easily. But this method is restricted by only linear PDE andcan not be applied to the nonlinear PDE. In the present thesis we study properties of the spherical means and nonlinear PDE for them. First we briefly review the main definitions and applications of the spherical means for the linear heat and the wave equations. Then we study operator representation for the spherical means, especially in two and three dimensional spaces. We find that the spherical means in complex space are determined by modified exponential function. We study properties of these functions and several applications to the heat equation with variable diffusion coefficient. Then nonlinear wave equations in the form of the Liouville equation, the Sine-Gordon equation and the hyperbolic Sinh-Gordon equations in odd space dimensions are introduced. By some combinations of functions we show that models are reducible to the 1+1 dimensional one on the half line. The Backlund transformations and exact particular solutions in the form of progressive waves are constructed. Then the initial value problem for the nonlinear Burgers equation and the Liouville equations are solved. Application of our solutions to spherical symmetric multidimensional problems is discussed.