Comparison of geometric integrator methods for hamilton systems

Abstract

Geometrik entegrasyon nümerik analizin nispeten yeni alanlarındanbiridir. Birçok sayısal metodun amacı diferansiyel denklemlerin çözümününsimplektiklik ya da tersine çevrilebilirlik gibi bazı geometrik özelliklerini korumaktır.Bu tezde geometrik entegrasyon yöntemlerinin etkisini ortaya koyduk.Bu amaç doğrultusunda geometrik entegrasyon yöntemleri olarak simplektikEuler metodu, simplektik Euler metodunun adjonti, Störmer-Verlet metod vemidpoint ya da Störmer-Verlet metodun bileşkesi ile elde edilen yüksek mertebedenmetodları kullandık. Aynı zamanda Explicit Euler, Implicit Euler, trapezoidalrule ve klasik Runge-Kutta yöntemleri geometrik olmayan entegrasyonyöntemleri olarak kullanıldı. Enerji, açısal momentum ve Runge-Lenz vektörügibi üç tane korunan, geometrik özelliği olan Kepler problemine, bu özelliklerinhangi yöntemler tarafından daha iyi korunduğunu saptamak için hem geometrikhem de geometrik olmayan entegrasyon yöntemleri uygulandı.

Geometric numerical integration is relatively new area of numerical analysis.The aim of a series numerical methods is to preserve some geometric propertiesof the flow of a differential equation such as symplecticity or reversibility.In this thesis, we illustrate the effectiveness of geometric integration methods.For this purpose symplectic Euler method, adjoint of symplectic Euler method,midpoint rule, Störmer-Verlet method and higher order methods obtained bycomposition of midpoint or Störmer-Verlet method are considered as geometricintegration methods. Whereas explicit Euler, implicit Euler, trapezoidal rule, classicRunge-Kutta methods are chosen as non-geometric integration methods. Bothgeometric and non-geometric integration methods are applied to the Kepler problemwhich has three conserved quantities: energy, angular momentum and theRunge-Lenz vector, in order to determine which those quantities are preservedbetter by these methods.