Kaleidoscope of quantum coherent states and units of quantum information

Abstract

Bu tezde, eş uyumlu durumların kuantum birleştirimi olarak n kenarlı düzgünçokgen ve q^2n= 1 birimin kökleriyle ilişkili eş uyumlu kuantum durumlarının kaleydoskobuçalışılmıştır. Bu durumlar q^2 = −1 birim köküne karşılık gelen Schrödinger'inkedisi durumlarının genelleştirilmesidir. Kaleydoskop durumlarının fiziksel özelliklerinioluşturmak için, ayrık Fourier dönüşümü ile üstel fonksiyonların kombinasyonu olanyeni tipteki mod n üstel fonksiyonları tanımladık. Ayrıca, bu tipteki fonksiyonlar uygunbaşlangıç koşullarıyla adi diferansiyel denklemlerin çözümleri olan genelleştirilmişhiperbolik fonksiyonlar olarak da bilinir.Kaleydoskop durumları yok etme operatörünün n-inci dereceden özdeğer problemininözdurumudur ve minimum belirsiz kuantum durumları de˘gildir. Bu durumlarGlauber eş uyumlu durumların kuantum Fourier dönüşümü olarak tanımlanır. Mod nfonksiyonları ile bu durumların normalle¸stirme faktörleri, belirsizlik ilişkileri, fotonlarınortalama değerleri ve koordinat temsilleri kompakt bir formda bulunmuştur. Ortonormalhesaplama bazı olarak kaleydoskop durumların kümesi, kuantum bilgisinin küdit(qudit)birimini tanımlar. Kaleydoskop durumların kuantum grup simetrisi ile ilişkisi çalışılmıştır.Özel olarak, kutirit(qutrit) ve kukuat(ququqat) kuantum bilgi birimlerine karşılık gelenüçlü(trinity) ve dörtlü(quartet) durumları detaylı bir şekilde inceledik.

In the present thesis, we study superposition of coherent states as the kaleidoscopeof quantum coherent states, associated with regular n-polygon symmetry and theroots of unity q^2n= 1. These states are generalizations of the Schrödinger cat states,corresponding to the roots of unity q^2= -1. To describe physical characteristics of kaleidoscopestates, we introduce new type of mod n exponential functions as a superpositionof exponential functions in the form of discrete Fourier transform. These functions arealso known as generalized hyperbolic functions, satisfying ordinary differential equationswith proper initial conditions.Kaleidoscope states are eigenstates of n-th order eigenvalue problem for annihilationoperator and are not minimal uncertainty states. These states are described as quantumFourier transform of Glauber coherent states. Normalization factors, uncertaintyrelations, average number of photons and coordinate representation for these states arefound in a compact form by mod n exponential functions. The set of kaleidoscope states,as orthonormal computatitonal basis of quantum states, describes generic qudit unit ofquantum information. Relations of kaleidoscope states with quantum group symmetryare discussed. The special cases of trinity and quartet states, corresponding to qutrit andququat units of quantum information are treated in details.