Direct and inverse electromagnetic scattering problems in spherically layered media

Abstract

Yarıçap doğrultusunda inhomojen küresel cisimlere ilişkin düz ve ters saçılma problemleri matematiksel açıdan ilgi çekici olmanın yanı sıra pratik açıdan da değer taşır. Düz saçılma problemlerinde cismin akustik ya da elektromanyetik parametrelerinin bilindiği kabul edilir. Bu parametreler sadece yarıçap doğrultusunda mesafenin fonksiyonudur. Problemin amacı kürenin dışındaki bölgede saçılan alanı hesaplamaktır. Öte yandan bu parametreler ters saçılma problemi için bilinmeyenleri oluşturur. Bunların belirlenmesinde kürenin dışında bir yüzeyde gerçekleştirilen saçılan alan ölçümlerinden yararlanılır. Düz problemin çözümünde farklı avantajları ve dezavantajları olan çeşitli teknikler geliştirilmiştir. Diyadik Green fonksiyonu gibi analitik teknikler sadece belirli profiller için kullanılabilmektedir, öte yandan moment metodu gibi nümerik tekniklerde başarı daha düşüktür ve işlem yükü gereksinimi de daha yüksektir. Ters saçılma probleminin çözümü için yaygın olarak kullanılan Newton metodu veya kontrast kaynak tekniği gibi metotlar doğrudan üç boyutlu probleme uygulanabilir. Ancak bu yaklaşımın gerektirdiği işlem yükü çok yüksek olduğundan pratikte uygulanabilirliği sınırlıdır. Sonuç olarak, küresel inhomojeniteye sahip cisimlere ilişkin saçılma problemlerinin hala yeni katkılara açık bir konu olduğu söylenebilir.Bu tezde üç boyutlu akustik veya elektromanyetik problemi bir boyutlu bir forma indirgeyecek bir metot geliştirilmiştir. Yapılan testlerde görüldüğü üzere bu metot alternatif tekniklerle uyumludur ve üç boyutlu nümerik çözüm yöntemlerine göre daha az işlem yükü gerektirmektedir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta üç boyutlu olarak formüle edilmiş olsa da problemin aslında bir boyutlu olduğudur. İnhomojenite sadece yarıçap doğrultusunda mevcut olduğundan problemin geometrisi açısal doğrultularda homojendir, ve bu bileşenler elimine edilebilir. Bu eliminasyon işleminin temel prensibi akustik ve elektromanyetik problem için aynıdır. Her iki problem için de amaçlanan, inhomojeniteden etkilenen yarıçap doğrultusundaki bileşenler ile homojen açısal bileşenlerin birbirlerinden ayrıştırılmasıdır. Bu ayrıştırma için akustik veya elektrik alanın küresel koordinat sisteminde birer seri toplamı şeklinde ifade edilmesi gerekmektedir. Bu seri toplamının baz fonksiyonları harmonik fonksiyonlardan oluşmaktadır. Bu fonksiyonlar alan büyüklüklerinin açısal bileşenlerini temsil etmek için kullanılmıştır. Seri toplamlarının skaler katsayıları ise sadece yarıçap doğrultusunun fonksiyonlarıdır. Bilindiği üzere küresel koordinat sisteminde harmonik fonksiyonlar birim küre yüzeyinde ortogonalite koşulunu sağlar. Problemin geometrisi açısal doğrultuda homojen olduğundan bu ortogonalite her zaman korunur. İşte bu ortogonalite bağıntısından yararlanılarak açısal terimler elenebilir. Dolayısıyla üç boyutlu cisim ve data denklemleri yerine, sadece yarıçap doğrultusunda değişen bileşenler içeren bir boyutlu integral denklemler oluşturulabilir. Bu temel prensip hem akustik hem de elektromanyetik problemin çözümünde kullanılabilir. Ancak problemlerin matematiksel yapıları farklı olduğundan çözümlerinde kullanılacak seri toplamlarının da farklı yapıda olması gerekmektedir. Skaler yapıdaki akustik problem için skaler baz fonksiyonlar kullanılmıştır. Öte yandan elektromanyetik alanı temsil etmek için vektörel baz fonksiyonlarına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu nedenle iki problem çözümleri farklı başlıklarda incelenmiştir. Akustik problem için skaler alan küresel harmonikler cinsinden bir seri toplamı formunda ifade edilmiştir. Teseral harmonik olarak da adlandırılan bu fonksiyonlar Legendre fonksiyonları ve trigonometrik fonksiyonlardan oluşmaktadır. Dolayısıyla açısal bileşenlerin ifade edilmesinde kullanılabilirler ve küre yüzeyinde ortogonal olduklarından seri toplamı için baz fonksiyonu görevi görebilirler. Daha sonraki eliminasyon sürecinde küresel simetrik geometriden faydalanılarak üç boyutlu denklemde ortogonalite bağıntısı vasıtasıyla sadeleştirme gerçekleştirilebilir. Böylece ortogonalite aracılığıyla açısal terimler denklemden elenir ve bir boyutlu integral denklemler elde edilmiş olur. Bu fonksiyonlardaki tüm terimler yarıçap doğrultusundaki mesafenin fonksiyonlarıdır. Bunlardan en önemlisi elektrik alanı ifade eden serinin katsayılarıdır, ve bu katsayılar integral denklemi çözerek elde edilebilir. İntegral denklemin çözümü, bir boyutlu integrasyon domeninin eşit uzunlukta hücrelere ayrıştırılması ile gerçekleştirilir. Bu hücreler yeteri kadar küçük seçildiğinde interaldeki terimlerin hücre içindeki değişimi ihmal edilebilir seviyede kalır. Bu varsayım altında integral sadeleşir ve ayrıklaştırma ile integral denklem matris formuna çevrilir. Bu ayrıklaştırılmış sistemin çözümü hücre merkezlerindeki seri katsayılarını verir. Bu seri katsayıları elde edildikten kürenin içindeki toplam akustik alan en başta tanımlanmış seri toplamı kullanılarak elde edilebilir. Saçılan alanın hesaplanması da benzer bir yöntemle gerçekleştirilebilir. Saçılan alan için katsayılar, içerideki alan katsayıları ve indirgenmiş bir boyutlu integral ile doğrudan elde edilebilir. Ters problemin çözümü için bu bir boyuta indirgenmiş denklemler kullanılabilir. Bu çalışmada alternatif çözüm tekniklerinden biri olan klasik Newton metodu kullanılmıştır. Newton metodunun en büyük dezavantajı her adımda düz problemin çözülmesinin getirdiği işlem yüküdür. Ancak burada kullanılan bir boyutlu denklemler düz problemin işlemsel yükünü oldukça azalttığından ters problemin çözümü için Newton temelli temelli iteratif bir algoritmanın kullanılması uygundur. Geliştirilen formülasyonda integral denklemler alan büyüklüğünün kendisi yerine seri toplamı katsayılarını içerdiğinden ters problemin de buna uygun olarak çözülmesi gerekir. Buna göre kürenin dışında ölçülen saçılan alan değerleri kullanılarak saçılan alan katsayıları elde edilir. Bu amaçla küresel harmonikleri içeren bir nümerik integrasyon işlemi gerçekleştirilir. Katsayılar elde edildikten sonra klasik Newton algoritması kullanılır. Bu algoritmada bilinmeyen cisim parametreleri için bir başlangıç değeri belirlenir ve bu değer kullanılarak düz problem çözülür. Bu çözüm ile elde edilen saçılan alan katsayıları ve ölçüm sonuçlarından elde edilen katsayıların karşılaştırılması ile başlangıç değeri güncellenir. Burada kullanılan denklemler kötü koşullanmış denklemler olduğundan bir regülarizasyon tekniğinin kullanılması gerekir. Bu çalışmada en sık kullanılan tekniklerden biri olan Tikhonov regülarizasyonu kullanılmıştır. Her adımda başlangıç değerinin güncellendiği bu iteratif süreç güncelleme terimi belli bir değerin altına düşünceye kadar sürdürülür. Elektromanyetik problem için çözüm akustik duruma benzer şekilde elde edilir. Ancak elektromanyetik alanlar vektörel olduğundan seri toplamı vektör küresel hamonikler kullanılarak tanımlanır. Bu vektörel baz fonksiyonları skaler harmonik fonksiyonlar aracılığıyla tanımlanır ve skaler eşdeğerlerine benzer şekilde küresel yüzeylerde ortogonalite bağıntısını sağlar. Bu seri toplamı için de katsayılar skalerdir ve sadece yarıçap doğrultusunun fonksiyonudur. Elektrik alan bu fonksiyonlar yardımıyla seriye açılabilir. Benzer şekilde boş uzayın dyadik Green fonksiyonu da vektörel dalga fonksiyonları kullanılarak seri toplamı şeklinde ifade edilebilir. Vektörel dalga fonksiyonları açısal bileşenleri vektör küresel harmonikler, radyal bileşenleri ise küresel Bessel fonsiyonlarından oluşan küresel fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlar homojen uzayda elektrik alanı temsil etmek için kullanılabilirler. Ancak burada kürenin içinde yarıçap doğrultusunda inhomojenite mevcut olduğundan elektrik alan vektör küresel harmonikler ile seriye açılmıştır. Böylece inhomojeniteden etkilenen radyal bileşen ile homojen açısal bileşenler birbirlerinden ayrışmış olur. Dyadik Green fonksiyonundaki vektörel dalga fonksiyonları ile elektrik alandaki vektör küresel harmoniklerin ortogonalliğinden faydalanılarak üç boyutlu vektörel integral denklemi bir boyutlu integral denklemler sistemine indirgemek mümkündür. Bu integraller de sadece yarıçap doğrultusunda değişen terimler içerdiğinden akustik duruma benzer bir çözüm elde edilmiş olur. Buradaki en temel fark akustik problemdeki tek denklemin yerini burada bir denklem sisteminin almasıdır. Elektrik alanın katsayıları bu denklem sisteminin çözülmesiyle bulunur ve buradan elektrik alanın gerçek ifadesine geçilebilir. Ters problem için akustik durumda kullanılan Newton temelli metodun elektromanyetik probleme de uygulanabileceği görülmüştür. Dolayısıyla aynı teknik hem akustik hem de elektromanyetik ters saçılma probleminin çözümünde kullanılacaktır.Nümerik simülasyonlardan elde edilen sonuçlara göre bu tezde geliştirilen yöntem gerek akustik gerekse elektromanyetik düz saçılma problemlerinin çözümünde güvenle kullanılabilir. Sonuçlar yöntemin alternatifleriyle uyumlu ve işlem yükü bakımından daha verimli olduğunu göstermektedir. Sadece tabakalı cisimlerde kullanılabilen analitik tekniklerin aksine bu metot her türlü profilde uygulanabilmektedir. Tabakalı cisimlerde dyadik Green fonksiyonu ve analitik çözüm ile yapılan karşılaştırmalar seri toplamına yeterli sayıda terim eklendiğinde yöntemin yüksek bir doğruluğa sahip olduğunu göstermektedir. Sürekli bir fonksiyona sahip saçıcılarda karşılaştırma, moment metodu gibi nümerik tekniklerle yapılmıştır. Buradaki karşılaştrımalarda elde edilen sonuçlara göre yöntemin doğruluğu nümerik alternatiflere göre daha yüksektir. Daha önemlisi, tek boyuta indirgeme sayesinde üç boyutlu ayrıştırmaya dayalı moment metoduna göre verimlilik çok daha yüksektir. Dolayısıyla, kafa modelleri gibi daha karmaşık saçıcılar içeren pratik uygulamalarda burada geliştirilen yöntemin güvenle kullanılabileceği sonucuna varılabilir. Küresel yapılara ilişkin akustik ve elektromanyetik saçılma problemleri biyomedikal mühendisliği gibi araştırma alanlarında sıklıkla karşılaşılan problemlerdendir, ve burada geliştirilen metot rahatlıkla bu alanlarda kullanılabilir. Ters saçılma problemlerinde yöntemin özellikle değişim hızı düşük, sürekli profiller için oldukça başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. Ancak bu başarı büyük ölçüde bilinmeyen parametreler için kullanılan başlangıç değerine bağlıdır. Başlangıç değeri ideal değerden saptığında yöntemin başarısı düşmektedir. Bunun dışında yöntemin regülarizasyon parametresi, sonlandırma eşiği, çalışma frekansı gibi diğer temel parametreleri de sonuca büyük oranda etki etmektedir. Newton metodunun bu standart parametreleri dışında burada geliştirilen yöntemde kullanılan seri toplamlarına eklenecek terim sayısı da performans üzerinde belirleyici etki yapmaktadır. Çeşitli simülasyonlar sonucu bu parametrelerin optimal değerleri tespit edilmiş ve tezin içerisinde belirtilmiştir. Bu incelemelerden görüleceği üzere cismin elektriksel boyutu belli bir sınırın üstüne çıktığında yöntem sonuç üretmekte zorlanmaktadır. Bu durum incelenecek cismin boyutlarına snırlama getirmektedir. Ayrıca optimal değerler kullanılsa da değişim hızı yüksek profiller için başarı oranının düşük kaldığı gözlemlenmiştir. Özellikle tabakalı cisimler için yöntem keskin geçişleri tespit edemeyip ancak yumuşatılmış yaklaşık bir değer üretebilmektedir. Yöntemin bir diğer sıkıntısı da küre ile dış ortam parametreleri arasındaki kontrast değeri yükseldikçe sonuçlardaki hata oranının artmasıdır. Öte yandan bütün bu sayılanlar Newton temelli bir teknik için beklenebilecek eksikliklerdir, dolayısıyla yöntemin bu tarz bir iteratif tekniğe göre yeterli doğrulukta sonuçlar ürettiğini söylemek mümkündür. Burada geliştirilen indirgeme tekniğiyle elde edilen bir boyutlu denklemler farklı ters problem çözüm teknikleri ile çözülebilir. Bu şekilde Newton temelli yöntemlerin getirdiği kısıtlamalar aşılabilir.

The direct and inverse scattering problems related to radially inhomogeneous spheres have interesting mathematical properties alongside practical value. In the direct scattering problem, the acoustic or elecromagnetic parameters of the spherical scatterer, which are arbitrary functions of the radial distance only, are assumed to be known; and the aim of the problem is to determine the scattered field in the whole space. On the other hand, for the inverse problem, these parameters constitute the unknowns of the problem, and they are determined through the value of the scattered field supposed to be measured on a measurement surface in the outside region. For the solution of the direct scattering problem, different techniques, with certain advantages and limitations, exist in the literature. The analytical techniques such as dyadic Green's function are only valid for certain types of profile, whereas numerical solution techniques such as method of moments have limited accuracy and they are in general computationally expansive. For the inverse problem, established methods such as Newton's method or the contrast source inversion technique can be applied directly to the three dimensional problem; however, the computational effort necessary for this type of procedure will put a limit to its practical value. Therefore, it can be concluded that the problems involving radially inhomogeneous spherical scatterer is still open to contributions.In this thesis, a method to reduce the original three dimensional acoustic and electromagnetic problems into one dimensional forms has been developed. It has been demonstrated that such a method would be compatible with the available alternatives, and it will require less computational effort than the three dimensional solution techniques. It should be noted that although the orginal problem is a three dimensional one, the homogeneity along the angular direction enables one to replace it with one dimensional object and data equations involving only radial functions. For this dimension reduction procedure, the orthogonality of the spherical harmonics over the unit spherical surface have been used. In the acoustic case, the scalar acoustic field has been expressed as a series expansion in terms of scalar spherical harmonics. Since those are functions of the angular terms, and the geometry is spherically symmetrical, their orthogonality is preserved within the original three dimensional object equation. Therefore, it is possible to eliminate the angular terms via orthogonality relation, and to obtain one dimensional reduced integral equations involving the coefficients of the series expansion for the acoustic field. For the solution of the direct scattering problem these coefficients can be determined by a simple discretization of the one dimensional integrals along the radial direction. On the other hand, a Newton based iterative scheme has been formulated for the solution of the inverse scattering problem. In this formulation, the one dimensional equations are solved using an initial guess for the unknown parameters, and the coefficients of the measured scattered field constitute the data that is used to update the initial guess iteratively. The procedure for the electromagnetic case is similar to the acoustic one. However, since the problem is a vectorial one in this case, the electric field is expanded in terms of vector spherical harmonics. These vectorial functions also satisfy the orthogonality condition over a spherical surface, therefore it is possible to reduce the vectorial electric field integral equation into a system of one dimensional integral equations. The integrals once again will only contain the scalar coefficients of the series expansion for the electric field, which are functions of the radial distance only. The resulting system of equations can be solved simultaneously to obtain the coefficients. The Newton based algorithm that was used in the acoustic case can be adapted to electromagnetic inverse problem in a straightforward manner. Therefore, same technique will be applied for the solution of the electromagnetic profile inversion problem.The results of the numerical tests demonstrate that the method is quite reliable for determining the interior and scattered field in the case of acoustic or electromagnetic direct scattering problem. It is compatible with alternative methods, and it is computationally effective. Unlike analytical techniques which can only be used for piecewise homogeneous spheres, the method can be easily adapted to any kind of profile.Moreover, its accuracy is higher compared to the computationally more expansive numerical techniques. Therefore it is safe to assume that it can be used for practical applications involving complex scatterers such as head models. The acoustic or electromagnetic scattering problems involving radially inhomogeneous spheres are frequently encountered in the research fields such as biomedical engineering or material science. The method developed in this thesis can be reliably used in these problems.For the inverse problem, the method yielded quite satisfactory results for slowly varying continuous profiles, provided that an appropriate initial guess is chosen. Other than the initial guess for the unknown acoustic or electromagnetic parameters, the most important point that effects the outcome of the method is the initial parameters of the iterative process itself. Through various numerical tests, the optimal values of these parameters have been determined and presented in the thesis. However, it was observed that even for these values, the success of the method is considerably lower for more rapidly varying profiles. Especially for layered profiles, the method can only provide a smoothed approximation. Numerical tests also demonstrated that the method produces useful results for relatively low contrast values. It should be noted that these are well-known limitations of Newton based algorithms, and the method performs reasonably well for an iterative profile inversion technique.