Sağ tarafı bilinmeyen parabolik denklemler için sınır ve bitim zamanındaki ölçümlere dayalı ters problemlerin çözüm yöntemlerinin analizi

Abstract

Bu çalışmada değişken ısı iletkenlik katsayısına sahip (2.1) ısı denkleminin uzay değişkenine bağlı F(x) kaynak fonksiyonunun ve zamana bağlı H(t) kaynak fonksiyonunun bitim zamanında (t=T) ve (0,l) aralığının sol ucunda (x=0) belirlenmesinin sistematik analizi anlatılmaktadır. Göz önünde bulundurulan ters problemler için hemen hemen çözüm yaklaşımı ve kısmi türevli parabolik denklemler için zayıf çözüm teorisi kullanılmaktadır. Burada ve ileride J1(F),J2(F),J3(H) değer fonksiyonelleri tanımlanarak bunlara en küçük değer veren eleman hemen hemen çözüm olarak tanımlanacaktır. Bu yaklaşıma dayanarak ilgili eşlenik problemlerin çözümleri üzerinden J1(F)~J3(H) fonksiyonelleri için açık bir gradyan formülü elde edilmektedir. Daha sonra Ek Koşulu Final Zamanında Verilmiş Ters Kaynak Problemi (TPF) ve Ek Koşulu Aralığın Sol Ucunda Verilmiş Ters Kaynak Problemi (TPH) problemlerinin sayısal çözümü için Eşlenik Gradyan Yönteminin (EGY) ve İleri Kollokasyon Yönteminin (İKY) algoritmaları uygulanmaktadır. Fourier yönteminden yararlanarak, parabolik denklemin sabit katsayılı olduğu durum için seri çözümleri, Picard tekil değer ayrışımı yardımıyla gösterilmektedir.Anahtar Kelimeler: Ters Kaynak Problemi, parabolik denklem, zayıf çözüm, iyi tanımlanmamış problem, Fourier yöntemi, Eşlenik Gradyan Algoritması, İleri Kollokasyon Yöntemi, Volterra integral denklemi.

This study presents a systematic analysis of the inverse source problem of determining the spacewise source term F(x)and the time-dependent source term H(t)of the variable thermal conductivity coefficient heat equation, from the measured final and Dirichlet data. We use the quasisolution approach for the considered inverse problems, introducing the cost functionals J1(F),J2(F),J3(H)and weak solution theory for parabolic PDEs. Based on this approach we derive explicit gradient formulas for the functionals J1(F) and J3(F) via the solution of appropriate adjoint problems, and then implement the algorithms of Conjugate Gradient Method (CGM) and Forward Colocation Method (FCM) for numerical solutions of the problems inverse source problem with final time measured output data (ISPF) and inverse source problem with boundary measured output data (ISPH). By using standard Fourier analysis, series solutions of parabolic equations with constant coefficients are determined with the help of Picard singular value decomposition method.Key Words:Inverse source problem, parabolic equation, weak solution, ill-posed problem, Fourier method, conjugate gradient algorithm, forward collocation method, Volterra integral equation.