Representation theory of the symmetric group

Abstract

Polinomlar matematiğin en eski konularındandır. Bir temel halkaya ve sonlusayıda değişkene göre tanımlanan polinomlar, bu değişkenlerin ve temel halkanınelemanlarının sonlu sayıda toplamları ve çarpımları kullanılarak elde edilir.Simetri matematiğin temel kavramlarındandır. Simetrinin odak noktası bir grup etkisi altında değişmeden kalan yapıları anlamaktır. Simetrik grup, polinom halkası üzerinde değişkenler üzerinde permütasyonlarla etki eder. Simetrik grubun permütasyon etkisi altında değişmeyen polinomlarına simetrik polinomlar denir. İki simetrik polinomun toplamı ve çarpımı yine simetrik polinom olduğu için, simetrik polinomlar polinom halkasının bir alt-halkasını oluşturur.Catalan sayıları matematikte birçok alanda karşımıza çıkan bir pozitif sayılar dizisidir. Catalan sayıları, ilk bakışta birbirleriyle ilgili olmayan pek çok kombinatorik kümeyi sayar.Bu tez çalışması iki konuya ayrılmıştır. İlk konu, herhangi bir $/mu$ parçalanışı ve $n$ tamsayısı için herhangi bir Jack polinomu $J_/mu$ ile $n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonu $p_n$ çarpımının yine Jack polinomlarına göre açılmasından gelen genişletilmiş katsayıları hesaplayan algoritmanın sağlanması üzerinedir. İkinci konuda ise K. Aker ve M. B. Can'ın 2012 yılında yayınlanan makalelerinde yer alan bir iddia ispatlanmıştır. Bu iddia eleman sayıları Catalan sayıları olan iki küme arasında birebir ve örten yeni bir eşlemenin varlığı üzerinedir.Simetrik polinomlar matematikte hemen her yerde karşımıza çıkar. Örneğin, bir polinomun katsayıları, polinomun köklerine göre simetrik polinomlardır. Bu simetrik polinomlara temel simetrik polinomlar denir; $e_n$ ile gösterilir. Derecesi aynı olan bütün tek terimlilerinin toplamı $h_n$ ile gösterilen tam simetrik polinomları üretir. $n$-ninci kuvvetten değişkenlerin toplamları, $p_n$ ile gösterilen kuvvet toplamı simetrik polinomları üretir. Simetrik hale getirilmiş tek terimliler, $/lambda$ herhangi bir parçalanış olmak üzere $m_/lambda$ ile gösterilen tek terimli simetrik polinomları üretir. Tek terimli simetrik polinomlar $m_/lambda$ simetrik fonksiyonlar halkasının bir bazıdır. Temel, tam ve kuvvet toplamı simetrik polinomlarının tanımlarının uygun olarak genişletilmesi ile bu polinomlar da simetrik polinomların birer bazını oluştururlar.Bu dört baza ilave olarak Schur polinomları aslen iki determinantın bölümü olarak tanımlanan simetrik fonksiyonlar halkasının beşinci bazını oluşturur.Simetrik fonksiyonlar uzayının doğrusal yapısı ile ilgili sorular bu önemli bazların kombinatorik olarakinşaasının temel noktalarıdır. Diğer bir odak noktası bu bazların oluşturduğu matrislerin değişimidir yanibu bazlar arasındaki geçiş matrislerini tarif etmektir. Baz matrislerinin değişimi kombinatoriğin doğası gereğizengin bilgiler içermektedir.Simetrik polinomlar ile uğraşırken rastgele özdeşliklerden kaçınmak ve yapıyı açıklamak için sonsuz sayıda belirsizler ile çalışmak daha uygundur.Modern cebir diliyle simetrik fonksiyon, simetrik fonksiyon halkasının bir elemanıdır. Simetrik fonksiyon halkası ise belirsizlerinin sayısı sonsuza giden simetrik polinom halkalarının projektif limiti olarak tanımlanır.Alternatif olarak simetrik fonksiyon, belirsizlerinin sayısının değişebildiği yerde sonlu sayıda belirsizlere sahip olan simetrik polinom olarak düşünülebilir. Bu açıdan bakıldığında önemli olan, simetrik fonksiyonlar arasındaki herhangi bir özdeşliğin belirsizlerin sayısı değiştikçe de geçerli olmasıdır.Polinomların çarpımı oldukça kolaydır; iki tek terimlinin çarpımı yine bir tek terimlidir, karşılık gelen kuvvetlerin toplanması ile bulunur.Simetrik fonksiyonlar halkasındaki çarpım nasıl olmalıdır? Simetrik fonksiyonlar halkası için yapı sabitleri nelerdir? Bu problemin çözümü ya ilgi çekici olmayacak kadar basit ya da hayli zordur. Temel simetrik fonksiyonlar, tam simetrik fonksiyonlar, kuvvet toplamı simetrik fonksiyonları için iki tek terimlinin çarpımı benzer şekilde açıktır.Tek terimli simetrik polinomlar için yapı sabitleri, 2001 yılında M.J. Carvalho ve S. D'Agostino tarafında çözülmüştür.Schur polinomlarının çarpımı, Littlewood-Richardson kuralı, D. E. Littlewood ve A. R. Richardson tarafından 1934 yılında formüle edildi. Hatasız ispatların ortaya çıkması 40 yıl aldı.Farklı tabanlardaki elemanların çarpımı nasıl olmalıdır? Schur fonksiyonlarının diğer baz elemanları ile çarpımının yine Schur tabanında nasıl açılır?Schur fonksiyonunun tam simetrik fonksiyon ile çarpılması Pieri kuralı ile hesaplanır. Schur fonksiyonunun kuvvet toplamı simetrik fonksiyonu ile çarpılması Murnaghan-Nakayama kuralı ile hesaplanır. Bu kural aslında simetrik grubun indirgenemez karakterlerinin değerlerini hesaplar.Yirminci yüzyılda matematikte Hall polinomları, Zonal polinomlar, Jack polinomları, Macdonald polinomları gibi çeşitli başka simetrik fonksiyonlar ortaya çıktı. Bunlar bazı grupların etkisine göre değişmez polinomlar olarak ortaya çıktılar. Örneğin, ilk olarak Zonal polinomlar ortogonal gruplar ile ilgili ortaya çıkan ortogonal fonksiyonlardır.Macdonald polinomları gibi, simetrik foksiyonlar Schur fonksiyonlarının genişlemeleri olarak görülebilirler. Schur fonksiyonları, tek terimli fonksiyonlara göre açıldığında üçgensel matrislere sahiptirler. Schur fonksiyonları birbirine göre ortonormaldir. Bir normalizasyon seçilince, bu özellikler Schur fonksiyonlarını tümüyle belirler. Yukarıda bahsi geçen Macdonald polinomları gibi fonksiyonlar, simetrik fonksiyon halkasının taban halkasının ve simetrik fonksiyonlar üzerindeki iç çarpımın genişletilmesi suretiyle tanımlanabilirler. I. G. Macdonald'ın kitabında izlenen yaklaşım budur.Simetrik fonksiyon halkası içerisindeki çarpımlara geri dönersek, Schur fonksiyonlarının tam simetrik fonksiyonlar, birbirleri ve kuvvet toplamı simetrik fonksiyonları ile çarpımları kısaca şöyledir:$n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere,Pieri kuralı; $n$ nin herhangi bir $/mu$ parçalanışı için keyfi bir Schur fonksiyonu ile$n$-ninci tam simetrik fonksiyonun çarpımının yine Schur fonksiyonları cinsindentarif edilmesidir. Yada başka bir deyişle; Schur fonksiyonları için Pieri kuralı; $n$ ninci tam simetrik fonksiyon, $(n)$ parçalanışlıSchur fonksiyonuna eşit olduğundan, birbirleri cinsinden yazılabildiğinden, $n$ nin herhangi bir $/mu$ parçalanışıiçin keyfi bir Schur fonksiyonu ile $(n)$ parçalanışlı Schur fonksiyonunun çarpımının yine Schur fonksiyonlarıcinsinden ifade edilmesidir.Littlewood-Richardson kuralı; $n$ nin herhangi iki farklı parçalanışı için keyfi iki Schur fonksiyonunçarpımının yine Schur fonksiyonları cinsinden yazılmasıdır.Murnaghan-Nakayama kuralı; $n$ nin herhangi bir parçalanışı için keyfi bir Schur fonksiyonu ile$n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonunun çarpımının Schur fonksiyonları cinsinden tarifidir ki bu yapı bize simetrik gruplarınindirgenemez karakterlerinin değerlerinin hesabı için rekürsif bir işlem tanımlar.Bu çarpımlardan yola çıkarak çalıştığımız ilk problemimiz,simetrik fonksiyonlar /linebreak uzayının diğer bir önemli bazı olanJack simetrik fonksiyonları için Murnaghan-Nakayama kuralını araştırmaktır.Yani $n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere $n$ nin herhangi bir parçalanışı için keyfi bir Jack simetrik fonksiyonu ile$n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonunun çarpımı, Jack simetrik fonksiyonları cinsinden ifade edildiğinde katsayıların nasıl hesaplanacağı ve ispatın nasıl yapılacağı sorusu ile ilgilidirJack simetrik fonksiyonları ilk olarak istatistikçi Henry Jack tarafından 1969 yılında tanımlandı. Jack simetrik polinomları, taban halkasının bir $/alpha$ parametresi ve simetrik polinomlar üzerindeki iç çarpımın uygun bir şekilde genişletilmesiyle, Schur fonksiyonlarına benzer şekilde tanımlanır. Jack, $/alpha=1$ durumunda bu polinomların,Schur fonksiyonlarına indirgeneceğini gösterdi. Ayrıca $/alpha=2$ durumunda yine Jack fonksiyonlarınınzonal polinomları verdiği çıkarımında bulundu. 1974 yılında H. O. Foulkes,Jack simetrik fonksiyonlarının kombinatoryel yorumu ile ilgili sorular ile ilgilendi. 1987 yılında I. G. Macdonald ise Jack fonksiyonlarınınözelliklerini, başlangıç noktasını 1977 yılında Sekiguchi'nin çalıştığı diferansiyeloperatörleri alarak araştırdı, bir dizi önemli eşitliklerin varlığını gösterdi. 1989 yılında ise R. P. Stanley bu konuyu oldukça geliştirdi: Jack simetrik fonksiyonları için Pieri kuralını oluşturdu ve ispatladı. Stanley, ek olarak, Jack simetrik fonksiyonları için Littlewood-Richardson kuralı hakkındabirtakım çıkarımlarda bulundu.İlk problemimizde öncelikle R. P. Stanley'in bulduğu Jack simetrik fonksiyonlar için Pieri kuralı ve $n$-ninci Jack simetrik fonksiyonları ile $n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonları arasındaki ilişki göz önünde bulundurulmuştur. Ayrıca 2004 yılında R. Sakamoto, J. Shiraishi, D. Arnaudon, L. Frappat ve E. Ragoucy'nin yazmış olduğu bir makalede bulunan herhangi bir Jack simetrik fonksiyonu ile $n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonları çarpımının algoritması üzerinde çalışılmıştır. Bu algoritmayı kullanarak adım adım herhangi bir Jack simetrik fonksiyonu ile $n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonları çarpımı, Jack simetrik fonksiyonları cinsinden ifade edildiğinde katsayıların neler olduğu, nasıl hesaplanacağı araştırılmıştır. Ayrıca adım adım bu çarpımların ispatları, Jack simetrik fonksiyonları için Pieri kuralı ve Jack simetrik fonksiyonların özelliklerikullanılarak araştırılmıştır.İkinci problemimizde özellikle kombinatorik matematikte çok önemli bir yeri olan 1838 yılında Eug/`{e}ne Charles Catalan tarafından bulunan Catalan sayıları üzerinde çalışılmıştır. Özel bir pozitif sayı dizisi olan Catalan sayılarının $n$-ninci terimi $n/geq 0$ için $C_n=/frac{1}{n+1}{2n /choose n}$ formülü ile bulunur. Bu problemde, K. Aker ve M. B. Can'ın 2012 yılında basılmış olan makalelerinde bulunan bir iddia ispatlanmıştır. Bu iddia, eleman sayıları Catalan sayıları olan iki kümenin üreten fonksiyonlarının eşitliği hakkındadır. Bu iddianın ispatı, üreten fonksiyonlar eşitliği, iki küme arasındaki birebir ve örten kombinatoryel bir eşleme kurularak yapılmıştır.

Polynomials are an age-old subject. Defined in terms of a base ring and finitely many indeterminates, polynomials are obtained by using only a finite number of additions and multiplications of the elements of the base ring and the indeterminates.Symmetry is a fundamental concept of mathematics. At the heart of symmetry one wants to understand what remains invariant under a group action. Symmetric polynomials are the polynomials which are invariant under the permutation action of the symmetric group.Catalan numbers is a sequence of positive integers which enumerate seemingly unrelated combinatorial objects.This thesis is devoted to two subjects. First is the verification of an algorithm to calculate the expansion coefficients of a product of a Jack polynomial $J_/mu$ and a power-sum symmetric polynomial $p_n$ in the Jack polynomial basis for various partitions $/mu$ and integers $n$. The second is a new bijection between two sets of objects enumerated by Catalan numbers, solving an earlier conjecture in the paper `From Parking Functions to Gelfand Pairs` by K. Aker and M. B. Can in 2012.Symmetric polynomials appear naturally in mathematics. For instance, the coefficients of a polynomial are symmetric polynomials of the roots of the given polynomials. These symmetric polynomials are called elementary symmetric polynomials, $e_n$. Summing up all monomials of a fixed total degree produces complete symmetric polynomials, $h_n$. Summing up the $n$-th power of indeterminates produces the power-sum symmetric polynomials, $p_n$. Symmetrizing monomials produces monomial symmetric polynomials, $m_/lambda$, where $/lambda$ is any partition. In fact, the monomial symmetric polynomials form a basis of the ring of symmetric polynomials. By extending the definitions of elementary, complete and power-sum symmetric polynomials appropriately, each of theses sets of polynomials constitute a basis for the symmetric polynomials.In addition to these four bases, Schur polynomials, originally defined as the quotient of two determinants, form a fifth basis. Schur polynomials happen to be the most coveted basis among these five classical basis of symmetric polynomials. In representation theory, they correspond to the irreducible characters of the symmetric group. It is possible to study representation theory of symmetric groups by studying Schur polynomials.When dealing with symmetric polynomials, it is best to work with infinitely many indeterminates to avoid accidental identities and to clarify the underlying structure. In terms of modern algebra, a symmetric function is an element of the symmetric function ring and the symmetric function ring is defined as the projective limit of rings of symmetric polynomials as the number of indeterminates tend to infinity.Alternatively, a symmetric function can be thought of as a symmetric polynomial with finitely many indeterminates where the number of indeterminates can change. From this point of view, the crucial bit is that any identity involving symmetric functions must be valid as the number of indeterminates changes.The product in the polynomials is so easy -- the product of two monomials is again a monomial, add up the corresponding exponents -- that we hardly think about it twice.How about the product in the ring of symmetric functions? What are the structure constants for the ring of symmetric functions? This turns out to be either rather straightforward to be interesting as in the case of polynomials, or rather hard. For elementary, complete, power-sum symmetric functions, the answer is straightforward akin to the product of two monomials. The structure constants for the product of the two monomial symmetric functions is only obtained in 2001 in `A MAPLE program for calculations with Schur functions` by M.J. Carvalho, S. D'Agostino.The structure constants for the product of two Schur functions is calculated by the Littlewood-Richardson rule in the paper `Group Characters and Algebra` by D. E. Littlewood and A. R. Richardson. First stated by D. E. Littlewood and A. R. Richardson in 1934, it took 4 decades for complete proofs to show up.How about multiplying elements in different basis? How about multiplying Schur functions with other basis elements expanding in the Schur basis again?The product of a Schur function with a complete symmetric function is calculated by the Pieri rule. The product of a Schur function with the power-sum symmetric functions is calculated by the Murnaghan-Nakayama rule and it calculates the values of the irreducible characters of the symmetric group.Various other symmetric functions arose in mathematics in the twentieth century, such as Hall polynomials, zonal polynomials, Jack polynomials, Macdonald polynomials etc. They arose as the invariant polynomials for action of some group. For instance, zonal polynomials were first introduced in relation to orthogonal groups.These functions can be seen as extensions of Schur functions. Schur functions, when expanded in terms of monomial functions, have triangular matrices. The set of Schur functions is orthonormal. When a normalization is imposed, Schur functions are uniquely defined by these properties. The above functions, albeit defined typically over a different base ring, can be characterized similarly. This is the approach followed in Macdonald's book.In this thesis, our first consideration is to study the product of Jack polynomials with power-sum symmetric polynomials in terms of Jack polynomials.We search how to calculate the coefficients of this product and compute these coefficients step by step. Firstly, we provethat the product of an arbitrary Jack polynomial with a power sum symmetric function$p_1$ in the basis of Jack polynomials. Secondly, we prove that this product for the power sum symmetric function$p_2$. Then we find the formulas of the product of an arbitrary Jack polynomial with a power sum symmetric function for some cases. Thus the formula of the product $J_/mu/,p_n$ for any partition $/mu$ is generalized partially.Catalan numbers pop up in all parts of mathematics. They enumerate a variety of different mathematical objects which seem unrelated at first impression. In the second problem, we prove a conjecture about the equality of two generating functions described in the paper `From Parking Functions to Gelfand Pairs` by K. Aker and M. B. Can in 2012 attached to two sets whose cardinalities are given by Catalan numbers: We establish a new combinatorial bijection between the two sets which proves the equality of the corresponding generating functions.