Towards to the direct numerical simulation of insect flight

Abstract

Son zamanlarda, çırpan böcek kanatlarında aerodinamik kuvvet üretimini ve taşımayı artıran mekanizmalar, sabit kanatlara kıyasla potansiyel enerjik ve çeviklik faydaları nedeniyle birçok çalışmaya konu olmuştur. Bu amaçla, son yirmi yıldır, çırpan kanatlar etrafındaki akış alanlarının sayısal olarak görselleştirilmesi için algoritmalar geliştirilmektedir. Mevcut çalışmada öncelikli olarak kanat çırpan Drosophila yakın iz bölgesi kenar merkezli yapısal olmayan sonlu hacimler yöntemine dayalı Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) yöntemi kullanılarak askı ve ileri uçuşlar için hesaplanmıştır. Kenar merkezli sonlu hacim metoduna dayanan bu sayısalyöntemde hız vektör bileşenleri her bir elemanın yüzeylerinin orta noktasında tanımlanırken, basınç değerleri her bir elemanın merkezinde tanımlanmaktadır. Hesaplamalarda kullanılmak üzere meyve böceği Drosophila kanat ve gövdesini içeren yapısal olmayan ağ DISTINE MeshGems-Hexa (mg-hexa) algoritması kullanılarak üretilmiştir. Bu algoritma sekizdal (octree)yöntemini kullanarak üç boyutta çok karmaşık geometriler için yalnızkonformal (conformal) altı yüzlü elemanlardan oluşan yapısal olmayan ağüretebilmektedir.Ağ deformasyonu her bir zaman adımında direkt olmayan radyal temelli fonksiyon (indrect radial basis function, RBF) metodu ile elde edilmiştir. Bu yöntem tekrar ağ oluşumunu gerektirmediğinden sayısal yöntemin performansını artırmıştır. Küçük zaman adımlı zamana bağlı akışların çözümü için projeksiyon metodunda olduğu gibi oluşan cebirsel denklemler üç ayrı matrise ayrıklaştırılmış ve bu matrislerin tersi önkoşullandırıcı olarak kullanılmıştır.Burada oluşan ayrık ölçekli Laplacian operatörünün tersi yerine iki adım HYPRE BoomerAMG önkoşullandırıcısı kullanılmıştır. Paralel ön koşullandırılmış iteratif yöntemlerin verimini artırmak için PETSc ve HYPRE kütüphanelerinden yararlanılmıştır.Bu tez çalışmasında öncelikli olarak Drosophila etrafındaki tutarlı yapılar (coherent structures) Lagrangian ve Eulerian yöntemler kullanılarak incelenmiştir.Eulerian yöntem ile akış analizi, belirli bir noktayı esas alarak, verilen bir anda o noktadan geçmekte olan akışkan parçacığının hızı, basıncı ve diğer özellikleri hesaplanarak yapılmaktadır.Yakın iz bölgesinde, Eulerian tutarlı yapıların (Eulerian coherent structures) zamanla değişimi Jeong ve Hussain (1995) tarafından geliştirilen lambda2 kriteri ile incelenmiştir.Lagrangian yöntem ise akış alanı içerisindeki belirli bir akışkan parçacığının verilen bir andaki yerini, hızını ve diğer özelliklerini hesaplayarak incelemektedir.Bu amaçla Lagrangian tutarlı yapılar (Lagrangian coherent structures) Haller ve Yuan (2000) tarafından önerilen FTLE (finite-time Lyapunov exponents) yöntemi kullanılarak analiz edilmiştir.Bununla birlikte, FTLE alanlarının hesabı çok sayıda parçacık izleme algoritması gerektirmektedir. Bu yüzden, Lagrangian yaklaşımı Eulerian yaklaşımına göre çok daha maliyetlidir.Mevcut hesaplamalarda hücum kenarı girdabı, kanat uç ve kök girdabı ve aşağı akım etkisi her iki görselleştirme yönteminde açıkça görülmektedir.Öte yandan, askı uçuşundaki Drosophila'nın parçacık izleme algoritmasının uygulandığı sayısal simülasyonunda aşağı akım etkisi daha açık bir şekilde gözlemlenebilir. Bununla birlikte Drosophila kanat ve gövdesine etki eden aerodinamik yükler de analiz edilmiştir.Stroke reversal'a göre simetrik kanat rotasyonu kinematiğinin kullanıldığı durumda, Drosophila'nın askı uçuşu yapabilmesi (kendi ağırlığını dengeleyecek gerekli kaldırma kuvveti) için kanat çırpma frekansı araştırılmış bu frekansın f=0.25/ms ve f=0.3/ms arasında olması gerektiği görülmüştür. Bu aralık literetürdeki değerlerle oldukça uyumludur (Sun ve Du, 2003).Ek olarak Drosophila gövdesinin uçuş üzerine olan etkisini araştırmak için kanatlar ve gövdeyi içeren ve sadece kanatları içeren sayısal simülasyonlar yapılmıştır. Hesaplamalar gövdenin etkisinin aerodinamik katsayılar üzerinde minimum olduğunu göstermektedir. Gövde etkisinin minimum olmasının bir nedeni olarak kanatların gövdeden belirli bir uzaklıkta hareket ediyor olması gösterilebilir. İleri uçuş hesaplamalarında, ileri hareket yüzünden oluşan sürükleme kuvveti iki farklı kanat kinematiği kullanılarak dengelenmeye çalışılmıştır. İlk kanat kinematiğinde, gerekli ileri kuvveti oluşturmak için kanat çırpma düzlemi öne doğru eğilmiştir (helikopter rotorlarında olduğu gibi). İkinci kanat kinematiğinde, kanat ucu düzlemi yere paralel tutulup, kanat ileri hareketinde (downstroke) düşük, kanat geri hareketinde (upstroke) yüksek hücum açıları kullanılarak oluşan sürtünme kuvvetindeki fark ileri doğru kuvvet oluşturmuştur (paddling motion). Yine yakın iz bölgesindeki Eulerian tutarlı yapıların zamanla değişimini analiz etmek için lambda-2 yöntemi kullanılmıştır. Elde edilen Eulerian tutarlı yapılar ve aerodinamik yükler aynı ilerleme oranları için karşılaştırılmıştır. İlerleme oranının 0.1 olduğu durumda iki varyasyon için sürtünme kuvvetini dengeleyebilecek kuvveti üreten açı elde edilmiştir. İlk varyasyon için kanat çırpma düzlemi alpha_p=10 derece öne eğilmiştir. İkinci varyasyon için sürükleme kuvvetini dengeleyebilecek kuvveti üreten açılar alpha_0=85 derece ve alpha_1=-50 derece olarak belirlenmiştir. Drosophila uzak bölgesindeki girdap yapıları iki farklı kanat kinematiği için karşılaştırılmıştır. İki farklı durumda girdap yapıları oldukça benzerlik gösterirken, ilk kanat kinematiğinde girdap yapıları ikinci kanat kinematiğindeki girdap yapılarına göre çok daha hızlı kaybolur. Bunlara ek olarak ilerleme oranının 0.2 olduğu çeşitli simülasyonlar gerçekleştirilmiştir.Mevcut tam birleşik ALE algoritması büyük ağ deformasyonlarına maruz kalan çırpan kanat problemlerinde yeterince güçlü bir yöntemdir ve biyolojik uçuş fiziği çalışmaları için çok faydalı olan yakın iz bölgesi topolojisini detaylı bir şekilde ortaya koymaktadır. Ayrıca bu simülasyonlar biyolojik canlılardan esinlenerek tasarlanan insansız mikro hava araçlarının (MAVs) tasarlanmasında da etkili bir araç olarak kullanılabilir.Son olarak, serbest yüzme/uçuş problemi akışkan-yapı etkileşim (FSI) problemi olarak modellenmiş ve hareket kinematiği Lagrange çarpanlar yöntemi yardımıyla empoze edilmiştir. Yapı bölgesinde kullanılan malzeme modeli geometrik nonlinear analizlere uygulanabilen Saint-Venant Kirchoff malzeme modeline dayanmaktadır ve büyük elastik deplasmanların modellenmesine imkan tanımaktadır.Bu denklemler akışkan denklemlerine ek olarak Lagrangian koordinatlarda klasik Galerkin sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak ayrıklaştırılmıştır. Akışkan bölgesinde ağ deformasyonu için lineer elastik denklemler farklı malzeme katsayıları kullanılarak çözülmüştür.Elde edilen FSI algoritmasında cebirsel denklemler tam bağlaşık (monolithic) formda çözülmüştür. Hareket kinematiği için farklı noktalar arasındaki mesafe şartı Lagrange çarpanlar yardımıyla empoze edilmiştir.Bu şartlar kullanılan koordinatlardan bağımsızdır ve cismin ötelenmesinden/dönmesinden etkilenmez. Elde edilen cebirsel lineer denklemler dual yaklaşım metodu (null space method) kullanılarak tam birleşik formda çözülmüştür. Mevcut algoritma iki boyutta üç elipsten oluşan yüzücü üzerine uygulanmış ve sonuçlar Eldredge'in (2008) çalışması ile kıyaslanarak geçerli kılınmıştır. İlerideki çalışmalarda, geçerli kılınan mevcut sayısal yöntem üç boyutlu Drosophila serbest uçuş problemi üzerine uygulanmaya çalışılacaktır.

The parallel large-scale unstructured finite volume method based on an ArbitraryLagrangian-Eulerian (ALE) formulation has been employed in order to investigate thenear wake structure of Drosophila in hover and forward flight. The numerical algorithmis based on side-centered finite volume method where the velocity vector componentsare defined at the mid-point of each cell face while the pressure is defined at theelement centroid. DISTENE MeshGems-Hexa algorithm based on the octree methodis used to generate the all hexahedral mesh for the wing-body combination. The meshdeformation algorithm is based on the indirect radial basis function (RBF) method ateach time level while avoiding remeshing in order to enhance numerical robustness.For the algebraic solution of the resulting large-scale equations, a matrix factorizationis introduced similar to that of the projection method for the whole coupled system andwe use two-cycle of Boomer AMG solver for the scaled discrete Laplacian providedby the HYPRE library, a high performance preconditioning package developed atLawrence Livermore National Laboratory, which we access through the PETSc library.The present numerical algorithm is applied to the numerical simulation of flow fieldaround a flapping Drosophila in hover and forward flight. The time variation ofthe Eulerian coherent structures in the near wake is analyzed with the lambda-2 criterion.In addition, the Lagrangian coherent structures is also investigated using finite-timeLyapunov exponents (FTLE) fields. For the symmetrical wing rotation with respectto stroke reversal, the flapping frequency is determined to balance the weight of theDrosophila. The body effect on the Drosophila flight is investigated by comparingthe numerical results for the wing-body combination and no-body configuration. Thevisualization results indicate that the both cases are very similar to each other. Twodifferent wing kinematic are applied for the Drosophila in forward flight in order tobalance drag force due to forward motion. In the first case, the wing tip-path plane istilted forward to generate forward force (as in helicopter rotor). In the second case,paddling wing motion is used to generate the forward force. The Eulerian coherentstructures are analyzed with the lambda-2 criterion. In addition, a new monolithic approachis proposed to solve the fluid-structure interaction (FSI) problem with Lagrangemultipliers in order to model free swimming/flying. The solid domain is modeledby the constitutive laws for the nonlinear Saint Venant-Kirchhoff material and theclassical Galerkin finite element method is used to discretize the governing equationsin a Lagrangian frame. In order to impose the body motion/deformation, the distancebetween each pair of nodes is imposed using the Lagrange multiplier approach, whichis independent from the frame of reference. The resulting algebraic linear equationsare solved in a fully coupled manner using a dual approach (null space method). Thepresent numerical algorithm is validated for the two-dimensional three-link swimmerproposed by Eldredge (2008). In the future, the present method will be applied toDrosophila in free flight in three-dimensions.