Q-floquet theory and its extensions to time scales periodic in shifts

Abstract

Bu tezde q-fark sistemlerinin Floquet teorisi çarpımsal periyodiklik kavramıkullanılarak incelenmiştir. Floquet ayrışma teoremi üstel matris fonksiyonudenkleminin çözümünün varlğı ispatlanarak verilmiştir. Homojen ve homojenolmayan q-Floquet fark sistemleri incelenerek, periyodik çözümün varlığıiçin gerek yeter koşullar gösterilmiştir. Ayrca, Floquet çarpanları ve Floquetkuvvetleri arasnda kurulan ilişkinin ışığında elde edilen sonuçlar kararlılık analizindekullanılmıştır. Tezin kalan kısmında, q-Floquet teorisi zaman skalalarındakaydırma operatörlerine bağlı olarak tanımlanan yeni periyodiklik kavramıylagenelleştirilmiştir. Bu yaklaşım dinamik sistemlerin Floquet teorisinin toplamsallık koşulu aranmaksızın daha genel tanım aralıklarında tartışılmasna imkantanımıştır. Genelleştirilen sonuçlar Floquet teorisine daha geniş bir açıdanbakılmasını sağlayıp, literatürdeki şu ana kadar Floquet teorisi üzerine yapılmışçalışmalar içerisinde en genel olanlarıdır.

This thesis proposes a Floquet theory for q-difference systems by using multiplicativeperiodicity notion. The Floquet decomposition theorem is given by obtainingthe solution of a matrix exponential equation. The existence of periodicsolutions of both homogeneous and nonhomogeneous systems are investigated byproviding the necessary and sufficient conditions. Additionally, by establishinga linkage between Floquet multipliers and Floquet exponents of a q-Floquet system,stability analysis is done. The obtained results for q-difference systems areunified on time scales by using new periodicity concept based on shift operators.This approach enables us to discuss Floquet theory of dynamic systems on moregeneral domains including nonadditive domains. Given results provide a wideperspective for Floquet theory and they are the most general results that areobtained in the existing literature.