Geoid modeling by the least squares modified hotine formula using voronoi cell structures

Abstract

Günümüzde yüksek doğruluklu üç boyutlu konum bilgisine duyulan ihtiyaç oldukça artmış ve gelecekte de artmaya devam edeceği öngürülmektedir. Yüksek doğruluklu enlem ve boylam bilgisi Küresel Uydu Navigasyon Sistemleri (GNSS) kullanılarak hesaplanabilirken, uydu bazlı konumlama tekniklerinden elde edilen yükseklik bilgisi elipsoid referanslı bir yüzeyi ifade etmektedir. Jeodezik altyapıya referans teşkil eden ortometrik yükseklikler (ortalama deniz yüzeyi referanslı) ise nivelman yöntemi ile belirlenebilmekte ancak bu yöntem hem zaman hem de finansal açıdan istenilen verimi sunamamaktadır. Aynı zamanda nivelman yönteminde ölçme hatalarının kümülatif olarak takip eden ölçmeyi etkilemesinden dolayı istenilen doğruluk elde edilememektedir. Klasik geometrik ve trigonometrik nivelmanın aksine prezisyonlu geometrik nivelman ölçme doğruluğu açısından daha doğru sonuçlar verse de uygulaması daha zor ve zaman alan bir yöntemdir. Yer yuvarının kütlesinden kaynaklı çekim potansiyeli ve sahip olduğu açısal hızdan kaynaklı merkezkaç potansiyelinin bileşkesi gravite potansiyeli olarak ifade edilir. Gravite potansiyeli eşit olan noktaların oluşturduğu yüzeyler eşpotansiyel, diğer bir ifade ile nivo yüzeyleri olarak adlandırılır. Geoit fiziksel anlamda ortalama deniz yüzeyine yakınsayan ve karaların altından devam ettiği varsayılan özel bir eşpotansiyel yüzeydir. Bu bağlamda geoit belirleme problemi, bir gravite alanı modellemesi işlemi olarak ifade edilebilir. Gravite alanı modellemesi matematiksel olarak belli sınır koşuluna bağlı olarak ilgili parametrelerin diferansiyel denklem sisteminde çözümünü, yani literatürde belirtildiği üzere jeodezik bir sınır değer problemini ifade etmektedir. GNSS yöntemiyle bulunan elipsoidal yükseklik ile geoit yükseklikleri kullanılarak pratik uygulamalarda ihtiyaç duyulan ortometrik yükseklik bilgisi elde edilebilmektedir. Geoit yüksekliğinin hesaplanması ise yaygın olarak gravimetrik yöntemlerle gerçekleştirilmektedir. Bu bağlamda uydu bazlı konumlama tekniklerinin de gelişmesiyle yükseklik sistemi belirleme amaçlı geoit referanslı düşey datum tanımlamaları günümüzde önem kazanmıştır.Yersel gravite verilerinin doğruluğunun artması ve hesap yöntemlerindeki modifikasyonlarla yüksek doğruluklu ve yüksek çözünürlüklü gravimetrik geoit modellerinin hesaplanması kolaylaşmıştır. Uydu gravite misyonlarındaki gelişmeler (GRACE, GOCE), global jeopotansiyel modellerdeki (GGM) doğruluk ve mekansal çözünürlüğü arttırmış olsa da elde edilen sonuçlar günümüz ihtiyaçlarını tam anlamıyla karşılayamamaktadır. Bu amaçla yeni metodolojiler test edilmekte ve uygulamaya konulmaktadır. Yer yuvarı üzerinde geoit yüksekliği hesaplanacak olan bölgedeki topografik yapı, gravite gözlemlerinin dağılımı ve doğruluğu, global jeopotansiyel modelin o bölgedeki performansı geoidin sonuç doğruluğunu etkileyeceğinden bu faktörler göz önüne alınarak uygun geoit modelleme yöntemi irdelenmelidir. Günümüzde En Küçük Kareler Kolokasyonu, Stokes/Hotine İntegral Yaklaşımı, Remove-Compute-Restore Tekniği ve Stokes-Helmert Metodu gibi yöntemler geoit belirleme amaçlı kullanılmaktadır.Bu çalışma bölgesel geoit belirleme amacıyla sıklıkla kullanılan yöntemleri özetle incelemekte ve Hotine İntegralinin En Küçük Kareler Modifikasyonu ile bölgesel geoit belirleme tekniğinin teorisini ortaya koymaktadır. Hem Stokes hem de Hotine integralleri yardımıyla geoit belirlenirken; hesap yüzeyi bir küredir ve küre üzerinde homejen dağılımlı yersel gravite gözlemleri vardır kabul edilir. Ancak pratikte böyle bir imkan olmadığı için geoit yüksekliği belirlenecek bölgede bir sınırlandırma yapılır ki bu durum kesme hatasını beraberinde getirmektedir. Kesme hatasını elimine etmek adına Stokes/Hotine integralleri en küçük kareler yöntemi ile modifiye edilmektedir. En küçük kareler modifikasyonu temelde yersel gravite verisi ve GGM'lerden elde edilen parametrelerle hesaplanan gravite anomali veya bozukluklarının integrasyona hangi oranda katılacağını ifade eden modifikasyon parametrelerini sağlamaktadır. Yersel gravite verisi kullanılarak geoit modelinin kısa ve orta dalga boylu bileşenleri hesaplanırken, GGMlerden hesaplanan gravite ürünleriyle uzun dalga boylu geoit bileşeni bulunabilir. Yersel gravite verisi kullanılarak hesaplanan geoit bileşeni `yakın alan bileşeni` olarak isimlendirilirken, GGM yardımıyla hesaplanan ikinci bileşen `uzak alan bileşeni` olarak isimlendirilmektedir. Geoidin yakın ve uzak alan bileşenleri kullanılarak `yaklaşık geoit` elde edilebilmektedir. Hesap yüzeyinin integrasyonun başlangıcında küre olarak kabul edilmesi ve bu varsayıma ek olarak üzerinde topografik bir kütlenin olmadığının düşünülerek işlem yapılmasından kaynaklı, yaklaşık geoit hesabı, ek düzeltmeler ile iyileştirilmelidir. Bu bağlamda topografik, aşağıya uzanım, atmosferik ve elipsoidal düzeltmeler uygulanarak final geoidine ulaşılmalıdır.Hotine Fonksiyonunun En Küçük Kareler Modifikasyonu (LSMHA), Stokes Fonksiyonunun En Küçük Kareler Modifikasyonundan (LSMSA) farklı olarak gravite anomalisi yerine gravite bozukluğu değerini kullanmaktadır. Günümüzde integral yöntemiyle geoit belirleme çalışmalarında yaygın olarak gravite anomalisi ile LSMSA yöntemi kullanılmaktadır. Ancak gravite bozukluğunun GNSS türevli elipsoidal yükseklikler kullanılarak direkt bir şekilde hesaplanabilmesiyle bu eğilimin değişebileceği düşünülmektedir. Nitekim bu amaçla LSMHA ve LSMSA metodlarının uygulanması ve kıyaslanması bu çalışma dahilinde yapılmıştır. Çalışma, Fransa'nın Auvergne bölgesinde (43N ve 49N enlemleri, -1E ve 7E boylamları arasında) gerçekleştirilen bir deneysel geoit modeli ile desteklenmektedir. Hesaplamalarda GOCO05C global geopotential modeli (360 dereceye kadar açılım), sayısal arazi modeli verileri (0.005 derece aralıklı grid formunda), homojen olarak dağılmış yoğun nokta gravite verileri ve validasyon amaçlı GNSS/nivelman verileri kullanılmıştır. Genellikle Stokes / Hotine integrali için eş boyutlu homojen grid veri kullanılmaktadır. Bununla birlikte, uygun olmayan gridleme yöntemleri yanlış bir geoit modeline sebebiyet verebilecek veriler üretebileceği için, bu çalışma, geoit modelleme işleminde geleneksel grid gravite verilerinin kullanımının önüne geçmeye çalışmaktadır. Grid veri ve nokta veri kullanımının farklarını yansıtmak adına Auvergne bölgesinde iki yöntemle de geoit modeli hesaplanmış, yöntemler arasındaki farklar irdelenmiş ve sonuçlar ifade edilmiştir. Noktasal veri ile hesap yapabilmek adına her bir yersel gravite noktası, noktayı temsil edecek Voronoi alanları ile çevrelenmiştir. Her bir veri noktasını çevreleyen Voronoi alanları o noktayı çevreleyen diğer veri noktaları arasındaki uzaklığın yarısına tekabül eden dönüm noktalarının birleştirilmesi ile elde edilmektedir. Bu çalışmada Voronoi alanları, harici bir yazılım aracılığıyla oluşturulmuş, veri sınırlarında ortaya çıkan artık değerler manuel olarak elimine edilmiştir. Voronoi alanları kullanılarak hesap yapılan alandaki gravite anomalisi veya gravite bozukluğu değerleri gridleme işlemindeki interpolasyondan kaynaklı hataları içermemekte, gravite sinyalini olduğu gibi yansıtmaktadır. Bu değerler ile yapılan hesaplamaların sonucunda veride öncelikli bir filtreleme işleminin yapılması gerektiği sonucuna varıldıysa da bu husus çalışmanın odağı dışında yer almaktadır.Bu tez kapsamında, LSMHA ve LSMSA yöntemleri için hem grid veri hem de noktasal veri ile ortak olarak çalışabilecek bir geoit modelleme algoritması oluşturulmuştur. Hesaplanan geoit modelleri Auvergne veri seti ile birlikte sunulan 75 adet noktadan oluşan GNSS/nivelman gözlemleri yardımıyla valide edilmiş ve sonuçlar kıyaslanmıştır. 4 parametreli Helmert benzerlik dönüşümü kullanılarak yapılan dengeleme işlemi ile modellenen gravimetrik geoit ile GNSS/nivelmandan elde edilen geoit yüzeyleri arasındaki sistematik farklar giderilmiştir. Dengeleme öncesi ve sonrası model doğrulukları istatistiksel olarak ifade edilmiştir.Geoit belirleme üzerine bahsi geçen yöntemlerin uygulanması esnasında karşılaşılan yazılımsal ve donanımsal güçlüklerin giderilmesi adına kullanılan donanımda değişikliğe gidilmiş ve algoritmada performans geliştirme ihtiyacı doğmuştur. Bu bağlamda yazılan kodlar aynı anda paralel işlemcilerde koşturulabilecek şekilde optimize edilmiştir.Yapılan analizlerin sonucunda, grid veri ile yapılan LSMSA ve LSMHA uygulamalarında yüksek doğruluk elde edilirken, nokta veri ile nispeden daha düşük bir doğruluğa ulaşılmıştır. Uygulamalara yönelik sayısal analizler, tartışma ve gelecek araştırmalara yönelik fikir ve öneriler sonuç bölümünde sunulmuştur.

Increasing use of satellite based positioning techniques in combination with geoid based vertical datum definition for height determination motivates studies on precise geoid modeling. This is supported by the developments in spatial data acquisition techniques and progress in computational methodologies that facilitate computations of accurate and high resolution geoid models. Even though several recent dedicated gravimetric satellite missions (such as GRACE and GOCE) have enhanced accuracy and spatial resolution global geopotential models (GGMs), however, the spatial resolution of GGMs remains still insufficient for many applications. The benefits of these improvements at the long and middle wavelengths of the gravity field signal to the regional geoid mapping become more accurate. This study provides the methodological characteristics of the gravity field modeling and shows a mathematical comparison among the frequently applied methodologies. In spherical approximation, geoid undulation can be determined by using a modified Stokes formula, which combines local terrestrial gravity anomalies and the GGM-derived long wavelength component in a truncated Stokes's integral (LSMSA). As an alternative, this study proposes the Least Squares Modified Hotine Formula with Additive Corrections (LSMHA) for geoid modeling. Once the approximate geoid with the Least Squares Modified Hotine Function is computed, the additive corrections should be implemented to the model. The present study tests the method by conducting an experimental geoid modeling in Auvergne area of France (43N and 49N latitudes, -1E and 7E longitudes). The GOCO05C geopotential model, digital terrain model data (grid form with 0.005 degrees spacing), homogeneously distributed dense point gravity data and GNSS/leveling data are employed in the computations.The Hotine function requires the use of gravity disturbances instead of anomalies. Gravity disturbance is a function of GNSS-derived ellipsoidal heights. Therefore the Hotine approach can be considered as a more practical approach in comparison with Stokes.Usually, uniform grid of gravity quantities is needed as an input for Stokesian/Hotine's integration. However, since unsuitable gridding methods may produce false or spurious data that might lead to an inaccurate geoid, this study attempts to avoid conventionally gridded gravity data as an input to geoid modeling. Instead, the gravity data of the target area is partitioned into convex and adjacent polygons; each holds the original values of the gravity disturbances. Within the integration area, the polygonal figures in Voronoi cell structures are used since the algorithm enables to preserve the actual characteristics of the observed gravity signal content. The resulting geoid models are assessed by the GNSS/leveling data and also compared to traditional geoid modeling approaches. Numerical results are provided in the conclusions of the study.