Tabakalı bazı ortamlarda nonlineer dalga yayılması probleminin asimptotik analiz
- Global styles
- Apa
- Bibtex
- Chicago Fullnote
- Help
Abstract
Elastik malzemeden meydana gelen çubuk, plak ve birbirinden farklı malzemelerden oluşan tabakalı yarım uzay gibi genel olarak dalga kılavuzu olarak adlandırılan ortamlarda yayılan dalgalar, sınır yüzeylerinde oluşan yansımaların etkisiyle dispersif olurlar, yani faz hızları dalga sayısına bağlı olarak değişir. Bir tabakalı yarım uzayda yatay polarize olmuş yüzey kayma (SH) dalgaları, tabakanın kayma hızının yarım uzayınkinden daha yavaş olması durumunda, yavaş tabakanın sınır yüzeyleri arasındaki çoklu yansımalardan dolayı dispersiftir. Bu dalgalar ilk olarak, sismogramlar tarafından kaydedilen yüzey dalgası katarlarında büyük enine yer değiştirme bileşenlerine sahip dispersif dalgaları inceleyen Love tarafından keşfedilmiştir ve literatürde Love dalgası olarak adlandırılmaktadır. Stoneley ve Tillotson 1928 yılında, tek tabakalı yarım uzayda Love dalgaları teorisini iki tabakalı yarım uzay modeli için genişletmiş ve 1950 yılında Stoneley, düşük hızlı ara tabakanın lineer Love dalga yayılımı üzerindeki etkisini incelemiştir. Stoneley'in bu çalışmasının ışığında, farklı mekanik özelliklere sahip lineer iki tabakayla kaplı bir yarım uzayda SH (Love) dalga yayılımı ve yavaş tabakanın dalga yayılımına etkisi bir çok araştırmacı tarafından incelenmiştir. Bu çalışmalar, inşaat mühendisliği, sismoloji, malzemelerin hasarsız muayenesi, elektronik sinyal işlem cihazları teknolojisi ve depremlerden kaynaklı hasar tahmini gibi çalışma alanlarında önemli rol oynamaktadır. Yeryüzünün kıtasal kısımlarında yayılan yatay polarize olmuş yüzey elastik kayma dalgaları ile ilgili çalışmalar, yüzeyde saklı petrol, yağ, gaz, mineral gibi doğal kaynakların keşfi için yeryüzünün tabakalı yapısı hakkında önemli bilgiler vermesi açısından da önemlidir.Bu tez çalışmasında ilk olarak, lineer olmayan, homojen, birbirinden farklı hiperelastik malzemelerden oluşan, sabit kalınlıklı iki tabakayla kaplı hiperelastik bir yarım uzayda lineer olmayan yüzey SH dalga yayılımı problemi incelenmiştir. Lineer durumda problem, Stoneley'in 1950'de incelediği probleme karşılık gelmektedir. Ara tabakanın lineer kayma hızının, üst tabaka ve yarım uzayın lineer kayma hızlarından küçük olduğu kabul edilerek, yavaş ara tabakanın lineer olmayan özelliklerinin SH dalga yayılımına etkisi araştırılmıştır. Ayrıca tek tabakalı ve iki tabakalı yarım uzay modellerinde lineer olmayan yüzey SH dalga yayılımını karakterize eden çözümler karşılaştırılarak, ikinci bir tabakanın varlığının dalga yayılımı üzerindeki etkileri ortaya çıkarılmıştır. Bu çalışmada incelenen ikinci problemde, lineer olmayan, elastik, homojen fakat değişken sınır yüzeylere sahip bir tabakayla kaplı yarım uzayda lineer olmayan yüzey SH dalgalarının yayılımı incelenmiştir. Tabakanın sınır yüzeylerinin, dalganın yayılma doğrultusunda değiştiği kabul edilerek, ortamı oluşturan malzemelerin lineer olmayan özelliklerinin yanı sıra, pürüzlü sınır yüzeylerin de lineer olmayan SH dalga yayılımına etkileri incelenmiştir.Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümünde, çalışılan problemlerin amacı ve kapsamından bahsedilmiş, konuyla ilgili literatür özetine yer verilmiştir.İkinci bölümde, lineer olmayan, sabit kalınlıklı, birbirinden farklı hiperelastik malzemelerden oluşan iki tabakayla kaplı hiperelastik bir yarım uzayın yüzeyi üzerinde yatay polarize olmuş harmonik bir yüzey kayma dalgasının yavaş modülasyonu incelenmiştir. Ara tabakanın lineer kayma hızının, üst tabaka ve yarım uzayın lineer kayma hızlarından daha yavaş olduğu model ele alınarak düşük hızlı ara tabakanın lineer olmayan özelliklerinin yüzey SH dalga yayılımı üzerindeki etkisi araştırılmıştır. İkinci bölüm dört kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda, lineer olmayan, homojen, izotrop, sıkışmaz hiperelastik ve neo-Hooken malzemelerden oluşan iki tabakalı yarım uzayda lineer olmayan SH dalga yayılımını modelleyen hareket denklemleri ve sınır koşulları türetilmiştir. İkinci kısımda, türetilen sınır değer problemi lineerleştirilerek, bazı noktalara ışık tutmak amacıyla lineer SH dalgalarının yayılması problemi incelenmiş ve dalga yayılımının mevcut olduğu durumlar için dispersiyon bağıntıları türetilmiştir. Elde edilen dispersiyon bağıntılarının yapısı gereği, bu bağıntıların her bir dalını temsil eden fonksiyonları analitik olarak hesaplamak mümkün değildir. Bu nedenle bağıntıların çeşitli dalları sayısal olarak hesaplanarak çizdirilmiş, tabakaların kalınlıkları oranının ve ikinci bir tabakanın varlığının lineer dalga yayılımı üzerindeki etkileri incelenmiştir.Üçüncü kısımda, SH dalga yayılımının mevcut olduğu iki farklı durum için çoklu ölçekler metodu kullanılarak, iki durumda da SH dalgalarının lineer olmayan modülasyonunun genlik fonksiyonunun asimptotik olarak lineer olmayan, sabit katsayılı bir Schrödinger (NLS) denklemi ile karakterize edildiği gösterilmiştir. Ardından, NLS denklemi için bazı çözümlere yer verilmiş ve denklemin çözüm özelliklerinin, katsayılar çarpımının işaretine bağlı olduğu gösterilmiştir. Dördüncü kısımda, katsayıları ortamın lineer ve lineer olmayan malzeme parametrelerine, tabakaların kalınlığına ve dalga sayısına bağlı olan NLS denklemleri ile asimptotik olarak karakterize edilen lineer olmayan SH dalga yayılımına lineer olmayan malzemelerin etkisini belirleyebilmek için, katsayılar çarpımının dalga sayısıyla değişimi iki tabakalı yarım uzayın çeşitli lineer olmayan malzeme parametreleri için incelenmiştir. Yavaş ara tabakanın lineer olmayan malzeme özelliklerinin soliton dalgaların varlığı üzerindeki etkileri sayısal olarak araştırılmış ve sonuçlar grafiklerle gösterilmiştir. Grafiklerden SH dalga yayılımının, yavaş ara tabakanın lineer olmayan özelliklerinden kuvvetli bir şekilde etkilendiği gözlemlenmiştir. Türetilen NLS denklemi, tabakalardan birinin kalınlığının sıfır olması durumunda tek tabakalı yarım uzayda yayılan SH dalgalarını karakterize eden NLS denklemine indirgenmektedir. İki tabakalı ve tek tabakalı yarım uzay modelleri için türetilen NSL denklemlerinin çözüm özellikleri karşılaştırılarak, ikinci tabakanın varlığının zarf soliton tipi dalga yayılımını önemli ölçüde etkilediği gösterilmiştir.Çalışılan ilk problemde bahsedilen lineer olmayan yüzey SH dalga yayılımı problemi, düzgün (uniform) kalınlıklı tabakalarla kaplı yarım uzay modelinde incelenmiştir. Yani tabakaların sınır yüzeyleri düzlemsel ve tabaka kalınlıkları sabittir. Ancak kıtasal marjinler, dağ kökleri, dağ havzaları, tuz ve maden yatakları gibi yeryüzünün kabuksal kısımları her zaman düzgün değildir. Sınır yüzeylerindeki değişime bağlı olarak tabaka kalınlığı da değişebilmektedir. Bu durumda dalga yayılımı sadece ortamın malzeme özelliklerinden değil pürüzlü yüzey ve arayüzeylerin şekil değişiminden de etkilenir. Düzensiz sınır yüzeylere sahip elastik tabakalarda yüzey dalga yayılımı problemleri, kıta sınırları boyunca ve değişken kabuk kalınlıklı diğer yeryüzü bölgelerinde sismik dalga yayılımına model teşkil etmesi açısından önemlidir.Bu tez çalışmasının üçüncü bölümünde, malzemelerin lineer olmayan özelliklerinin yanı sıra tabakalı ortamın sınırlarındaki düzensizliklerin de SH tipi yüzey dalgalarının yayılma karakteristikleri üzerindeki etkileri incelenmiştir. Üçüncü bölüm beş kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda, pürüzlü sınır yüzeylere sahip değişken kalınlıklı bir tabakayla kaplı homojen, izotrop, lineer olmayan sıkışmaz hiperelastik bir yarım uzayda SH tipi yüzey dalgalarının yayılmasını karakterize eden hareket denklemleri ve bunlara eşlik eden sınır koşulları türetilmiştir. Hem serbest yüzeyin hem de arayüzeyin, SH dalgalarının yayılma yönünde değiştiği kabul edilmiştir. İkinci kısımda, lineer olmayan hareket denklemleri ve değişken katsayılı lineer olmayan sınır koşullarından oluşan sınır değer problemi lineerleştirilerek, bazı noktalara ışık tutmak amacıyla lineer SH dalgalarının yayılması problemi incelenmiştir. Tabakanın sınır yüzeylerindeki keyfi bir değişim için dalga yayılımı analizi oldukça kompleks olduğundan, sınır yüzeylerindeki değişimin dalgaların yayılma doğrultusunda ve yavaş olduğu kabul edilmiştir. Dalganın hızlı ve yavaş değişen parametreleri arasında açık bir ayrım yapabilmek için çoklu ölçekler metodu kullanılarak, değişken kalınlıklı bir tabakayla kaplı yarım uzayda lineer Love dalga yayılımını karakterize eden asimptotik bir çözüm inşaa edilmiştir. Üçüncü kısımda, bir önceki kısımdaki ölçeklerin farklı seçimiyle çoklu ölçekler metodunu uygulayarak, yüzey SH dalgalarının lineer olmayan self modülasyonu değişken katsayılı, genelleştirilmiş bir lineer olmayan Schrödinger (GNLS) denklemi ile asimptotik olarak karakterize edilmiştir. Katsayıları, lineer ve lineer olmayan malzeme özelliklerine, dalga sayısına ve ayrıca sınırlardaki düzensizlikleri temsil eden fonksiyonlara bağlı olan bu denklemin her zaman analitik çözümü yoktur. Bu sebeple bu bölümün dördüncü kısmında, GNLS denkleminin önerilen bir ansatz yardımıyla integrallenebilirlik koşulu elde edilmiş ve bu koşul altında soliton benzeri çözümleri türetilmiştir. Ardından, GNLS denkleminin katsayılarının integrallenebilirlik koşulunu sağlamadığı durumlarda nümerik çözümleri araştırılmıştır. Bu amaçla Fourier transformunun bazı özelliklerine değinildikten sonra nümerik çözümler için kullanılan pseudospectral yöntem tanıtılmış ve enerji analizine yer verilmiştir. Beşinci kısımda düzensiz sınır yüzeylerinin, GNLS denkleminin integrallenebilirliğine izin verdiği durumlar araştırılmış, bu durumlarda sınır yüzeylerindeki değişimin tabaka kalınlığına kıyasla oldukça küçük ve periyodik olduğu kabul edilerek analitik çözümler çeşitli lineer olmayan malzeme parametreleri için elde edilmiştir. Böylece, lineer olmayan malzeme özelliklerinin ve sınırlardaki ondülasyonun dalga yayılımı üzerindeki etkileri araştırılmıştır. Pürüzlü sınır yüzeylerin integrallenebilirliğe izin vermediği diğer özel durumları için, GNLS denkleminin çözümleri nümerik olarak elde edilmiştir. Elde edilen soliton benzeri çözümlerin grafikleri incelenerek, tabakalı yarım uzayın sınır yüzeylerindeki ondülasyonların, bright soliton benzeri ve dark soliton benzeri dalgalar üzerinde salınımlara yol açtığı gözlemlenmiştir. Sınırlardaki ondülasyonun genliğinin soliton benzeri yüzey SH dalgalarının genliği üzerindeki etkisi araştırılmış, ayrıca serbest yüzeydeki ondülasyon ile arayüzeydeki ondülasyonun lineer olmayan SH dalga yayılımı üzerindeki etkileri karşılaştırılmıştır. Elastic waves propagating in wave guides such as rods, plates, layered half spaces, etc.,become dispersive, i.e. the phase velocities of waves depend on the wave number, dueto multiple reflections between the boundaries of wave guides. Horizontally polarizedsurface shear waves propagate on a layered half space providing that the shear wavevelocity of the layer is less than the corresponding velocity of the half space. Thesewaves are discovered by Love considering the dispersive waves with large transversedisplacement components in the early part of the surface wave trains recorded byseismographs. They are called Love waves. Later, Stoneley and Tillotson extended thetheory of Love waves to a double layered half space in 1928 and Stoneley examined theeffect of low velocity internal layer on the propagation of surface shear horizontal (SH)waves in 1950. The propagation of surface SH waves in a double layered half spaceand also the effect of the low velocity internal layer on the propagation characteristicsof surface SH waves have been investigated by other researchers as well due to theirimportant applications in geophysics, civil engineering, electronic signal processingdevices, nondestructive testing of materials and prediction of damage that can resultfrom earthquakes etc. Moreover, the study of surface elastic SH wave propagationinside the crustal layer of the Earth gives important information about the layeredstructure of the Earth for exploration of natural resources buried in the Earth's surfacesuch as oil, petroleum, gas and mineral.In the first part of this work, the slow modulation of a harmonic surface SH wave overthe surface of a nonlinear hyperelastic half space covered with two different nonlinearhyperelastic layers of uniform thickness is examined. It is assumed that the linearshear wave velocity of the intermediate layer is slower than those of the top layer andthe half space. In the linear limit, the problem reduces to the problem investigated byStoneley in 1950. The effect of the nonlinear properties of the intermediate layer onthe propagation characteristics of surface SH waves has been investigated. Moreover,from the comparison of the solutions characterized the nonlinear SH wave propagationon the single layered half space and on the double layered half space, it is observed thatSH wave propagation is affected considerably by the existence of a second layer. Inthe later part of this study, the SH waves propagating in a nonlinear elastic half spacecoated with a nonlinear elastic layer having irregular boundary surfaces is examined.It is assumed that the irregularities of the boundary surfaces are the functions ofthe distance in the direction of propagation of the waves. The effect of the varyingboundary surfaces as well as the effect of the nonlinear material parameters on thepropagation characteristics of the surface SH waves in a layered half space have beeninvestigated.This thesis consists of four chapters. In the first chapter, it is mentioned about purposeand scope of the studied problems, and literature review is given.In the second chapter, the slow modulation of a harmonic surface SH wave over thesurface of a nonlinear hyperelastic half space covered with two different nonlinearhyperelastic layers of uniform thickness is examined. In the analysis, it is assumedthat between the linear shear wave velocities of the top layer, c1, the intermediatelayer, c2, and the half space, c3, the inequality c2 < c1 < c3 is valid. That is the linearshear wave velocity of the intermediate layer is slower than those of the top layer andthe half space. The effect of the nonlinear properties of the slow intermediate layeron the existence of solitary waves has been investigated. This chapter consists of foursections.In the first section, the equations of motion and boundary conditions are producedfor the nonlinear surface SH wave propagation on the double layered half space.It is assumed that the constituent materials are nonlinear homogenous, isotropic,incompressible hyperelastic and their strain energy functions are only the functionsof the first invariant of the Finger deformation tensor c1 = [xk;Kxl;K], i.e. S = S(I)where I =trc1. Namely, we consider the double layered half space made of differentgeneralized neo-Hooken materials.In the second section, the problem of linear SH wave propagation is investigated bylinearizing the derived boundary value problem, and then the dispersion relations areobtained for cases where wave propagation exists. It is known that a surface SH wavepropagates provided that the phase velocity c of this wave satisfies either the conditionc2 <c<c1 <c3 or the one c2 <c1 <c<c3. The problem is examined under these twoconditions. Due to the structure of the resulting dispersion relations, it is not possibleto analytically calculate the functions representing each branch of these relations. Forthis reason, various branches of the relations are calculated numerically, and then theeffects of the thickness ratio of the layers and the existence of a second layer on thelinear wave propagation are investigated.In the third section, by using the method of multiple scales for two different caseswhere SH wave propagation exists, it has been shown that the amplitude functionsof the nonlinear modulation of the SH waves are characterized asymptotically bynonlinear Schrödinger (NLS) equations. The coefficients of the obtained NLSequations depend, in a complicated way, on linear and nonlinear material parameters ofthe double layered half space, the thicknesses of the layers and also the wave numberof the waves. Then, some analytical solutions for the NLS equation are obtained,and the properties of the solutions are shown to depend on the sign of the productof its coefficients. In the forth section, the variation of this product with the wavenumber is evaluated numerically by giving appropriate values to the material constantsand to the thickness ratio of the layers. To observe the effect of nonlinearity on thecoefficients, consequently on the solutions of the NLS equation, the linear materialconstants are held fixed while the nonlinear ones are being changed. It is observed thatthe nonlinear properties of the slow intermediate layer affect strongly the solutionsof the NLS equation. Moreover, for relatively long waves the nonlinear properties ofthe half space dominate the propagation characteristics of the surface SH waves. Forc2 < c < c1 < c3 when h1 = 0 and for c2 < c1 < c < c3 when h1 = 0 or h2 = 0 thecoefficients of the NLS equations reduce to the coefficients of the NLS equation fora half space covered by a single layer. To reveal the effect of the second layer, thecoefficients of the NLS equations obtained for a double layered half space and for a single layered half space are compared. It has been observed that the propagation isaffected considerably by the existence of a second layer.The problem of the nonlinear SH wave propagation studied in the first problem isexamined in the half space covered with uniform thickness layers. That is, theboundary surfaces of the layers are planar and the thicknesses of the layers are constant.However, it is a well known fact that the crustal parts of the Earth are not alwaysuniform such as continental margins, mountain roots, salt and ore deposits etc. Inthis case, the wave propagation is affected not only by the material properties of themedium but also by the irregular surfaces. The propagation of surface shear horizontalwaves through non parallel or undulated boundaries has received much attention ingeophysics, civil engineering, earthquake engineering due to importance of the seismicwave propagation inside the earth of varying crustal thickness.In the third chapter of this study, we have investigated the effect of the irregularboundary surfaces as well as the effect of nonlinear material parameters on thepropagation characteristics of the surface SH waves in a layered half space. It isassumed that the irregularities of the boundary surfaces are the functions of the distancein the direction of propagation of the waves. The third chapter consists of five sections.In the first section, the equations of motion characterizing the propagation of surfaceSH waves in a homogeneous, isotropic, nonlinear, incompressible hyperelastic halfspace covered by a layer with varying thickness having rough boundary surfaces andassociated boundary conditions are derived. It has been assumed that both the freesurface and the interface vary in the direction of propagation of the SH waves.In the second section, the problem of linear SH waves is investigated by linearizingthe boundary value problem consisting of nonlinear equations of motion and nonlinearboundary conditions with variable coefficients. Since the analysis of wave propagationin a layered crustal structure with an arbitrary surface shape is very complicated, itis assumed that the irregularities of the boundary surfaces are the functions of thedistance in the direction of propagation of the waves, moreover, variations of theboundary surfaces are regarded as slow. To make a clear distinction between the fastand slow varying parameters of the waveguide, it is used the method of multiple scalesand an asymptotic solution has been constructed to characterize the linear Love wavepropagation in a half space covered with a layer of nonuniform thickness.In the third section, for a general geometry, it is shown that nonlinear self modulationof surface SH waves is governed by a generalized nonlinear Schrödinger (GNLS)equation with variable coefficients depending on linear and nonlinear materialparameters of the media, slowly varying boundary surfaces and also the wave numberof the waves. When the irregularities of the surfaces are neglected, this GNLS equationreduces to the NLS equation characterized the nonlinear propagation of Love wavesin a layered half space having plane boundary surfaces. While the governing NLSequation with constant coefficients is always integrable, GNLS equation with variablecoefficients may no longer be integrable because of the coefficients depending on theirregularities of the boundary surfaces. Hence, in the fourth section, integrabilitycondition of the GNLS equation is obtained with the help of a proposed ansatz andsoliton-like solutions are derived analytically under this condition. For the caseswhere the coefficients of the GNLS equation do not satisfy the integrability condition,numeral solutions are investigated. For this purpose, some properties of Fourier transform are given and pseudospectral method used in numerical calculations isintroduced and energy analysis is given.In the fifth section, we have investigated some special cases of the irregularities thatpreserve the integrability; and also we obtain the exact soliton-like solutions of theGNLS equation for these cases in which layer thickness remains constant whereasthe boundary surfaces change as periodically. For the other cases of slowly varyingthickness which do not allow the integrability of the GNLS equation, because of thedifficulties for the analytical solutions, the numerical solutions to GNLS equationare sought by means of the pseudospectral method. The effects of the corrugatedboundary surfaces and nonlinear properties of the layered half space on the propagationcharacteristics of the soliton-like waves have been demonstrated graphically. Thegraphs reveal that the soliton-like solutions have some fluctuations due to slowlyvarying corrugation in the boundary surfaces of the layer. As a result of oscillationsin the boundary surfaces, the background of dark solitary waves and the top ofbright solitary waves undergo a periodic fluctuation. It is also demonstrated that theamplitudes of the soliton-like solutions increase with the increasing amplitude of theundulation in the boundary surfaces of the crustal layer. Moreover, the effect of theirregularities of the boundary surfaces on the soliton energy during the wave evolutionis investigated. When only the interface has fluctuation, undulation of the energyduring the wave evolution is relatively small compared to the cases in which freesurface has fluctuation. Furthermore, it has been observed that when free surface iscorrugated, fluctuations attached on the bright soliton-like waves are more significantcompared to the case in which layer has corrugation only at the interface. Hence, itis concluded that the effect of the corrugated free surface is more remarkable than theeffect of the corrugated interface on the wave evolution.
Collections