On the Ricci solitons with parallel vector fields

Abstract

Geometri esas olarak evrenin küçük bir noktadan dev bir kara deliğe kadarmatematiksel yorumudur. Objeleri, doğrular, eğriler ve açılar cinsinden ifade edip,analiz yapmaya yardımcıdır. Riemann geometrisi, daha kompleks yapıları anlamadakiöneminden ötürü matematiğin göze çarpan bir dalı olmuştur. Geometriye getirdiği yenikavramlar sayesinde yüksek boyutlu eğimli yüzeylere sahip uzaylar üzerinde çalışmakdaha kolay hale gelmiştir.Lokal olarak Öklid uzaylarına benzeyen, türetilebilir Riemann manifoldları bu alandaçalışırken kullandığımız en temel yapılardır. Bu objeler daha kompleks uzayları,iyi bildiğimiz, nispeten basit Öklid uzayları yardımıyla anlamamızı sağlar. Sadecematematikte değil, klasik mekanik ve genel görelilik gibi fiziğin birçok alanında dakullanılan bir konsepttir.Geometriciler, bir manifold üzerindeki en iyi Riemann yapısını bulmaya çalışmışlarve sonrasında en iyi yapının sabit eğrilikli manifoldlarda bulunduğu gösterilmiştir. Birmanifold üzerindeki eğriliği hesaplamak için iki temel araç kullanılmıştır; Riemanneğrilik tensörü ve Ricci tensörü. Geçtiğimiz yüzyılda, bazı bilim insanları buaraçlar yardımıyla daha kompleks yapıları tasvir edebilmek için yeni kavramlartanımlamışlardır. Bu yeni kavramlar Perelman'ın bir asır boyu cevapsız kalmış olanünlü Poincaré sanısını Ricci akışı yardımıyla çözmesine yardımcı olmuştur.Gradiyent Einstein tipi manifoldlar, yarı Einstein manifoldları, ve Ricci solitonları gibiarkasında derin fiziksel anlamlar barındıran yapılar hakkında hala bilinmeyen birçokşey bulunmaktadır. Bu alanda katkılı olabilmek adına, biz Ricci solitonlara örnekolabilecek bazı özel yapıları gradiyent Einstein tipi manifoldlar üzerinde araştırdık.Tezin giriş bölümünde, bu oluşumların nereden çıktığını, niye böyle tanımlamalaraihtiyaç duyduğumuzu ve arkalarında yatan geometrik yorumu cevaplamaya çalıştık.Konuları Einstein manifoldlarından başlayarak Ricci solitonlarına kadar tarihiilerleyişine göre ele aldık. Bölüm içinde bu alanlara katkıda bulunmuş bazı değerlimatematikçilerden de bahsettik. Son olarak, çalışmanın amacı, bazı çokça bilinengeometrik kavramları ilişkilendirmek olarak verildi.İkinci bölümde, Riemann geometrisi üzerine genel bilgiler ile ilgilendik. Öncelikle,bölgesel olarak Öklid uzaylarına benzeyen, türetilebilir manifoldların tanımınıverdik. Sonrasında, bu manifoldların sahip olduğu topolojik özelliklerden bahsettik.Kovaryant türev, katlı çarpım gibi ilerleyen bölümlerde sıkça kullanacağımızişlemlerin tanımlarını verdik. Daha sonra, türetilebilir manifoldlar üzerindekieğimleri incelemek için, uzaklık fonksiyonu diyebileceğimiz `g` Riemann metriğinintanımlı olduğu gösterdik. Dahası, bu metrikten elde edilen Riemann eğriliktensörünün daraltılması ile başka önemli bir araç olan Ricci tensörü elde ediliyor.Bu alandaki Einstein manifoldları gibi birçok manifold Ricci tensörünün yapısınagöre çeşitlendiriliyor. Bu açıdan çalışmamızın temel taşını oluşturuyor. Riemanngeometrisini çalışmak için gerekli diğer benzer araçlar da tezin ilgili kısmında ayrıntılıolarak işlenmiştir. Bu temel bilgiler baz alınarak ilerleyen bölümlerdeki yapılaroluşturulmuştur.Üçüncü bölümde, tezin temel konularına giriş yapılmıştır. Biliyoruz ki, Riccitensörünün metrik tensörüyle orantılı olduğu manifoldlara Einstein manifoldlarıdeniliyor. Bu manifoldlar, uzay-zaman düzleminde bir kütle tarafında yaratılançekim gücünü açıklamaya çalışan Einstein'ın ünlü alan denklemleriyle yakındanilişkilidir. Bu açıdan birçok matematikçi ve fizikçinin ilgisini çekmektedir. Einsteinmanifoldları üzerindeki en değerli çalışmalardan biri M. C. Chaki ve R. K. Maitytarafından yürütülmüştür. 2000 yılında, Einstein manifoldlarının genelleştirilmişkonsepti olan yarı Einstein manifoldlarını, bir sonraki sene de genelleştirilmiş yarıEinstein manifoldlarını tanıtmışlardır. Genel göreliliğin anlaşılması ve modellenmesibu bağlamda kolaylaşmıştır. Einstein manifoldları ve yarı Einstein manifoldları, ilgiliRicci tensörlerinin yapısına göre tanımlanmıştır. Sonrasında, manifoldları üzerlerindebelli koşulları sağlayan bir X vektör alanına sahip olmaları haline göre gradiyentEinstein tipi manifoldlar ve onların sınıflandırılması olarak çeşitlendirilmiştir.Çalışmanın devamında, çeşitli örnekler ve yakın zamanda ispatlanmış teoremlerverilmiştir. Ayrıca, eğrilik kavramını farklı açılardan değerlendirmek için Weyl tensörüve onunla ilişkili Cotton, Bach, Schouten tensörlerinden bahsedilmiştir. Bu tensörlerinbirbiriyle ilişkisi bazı önemli önsav ve teoremler aracılığıyla gözlemlenmiştir.Bir sonraki bölümde, ünlü Poincaré sanısının çözümündeki rollerinden dolayıpopülerliği artmış Ricci akışı ve Ricci solitonları ele alınmıştır. Uzun yıllarçözülememiş sanı şunu iddia etmekteydi; her basit bağıntılı, kapalı, 3 boyutlu manifoldile 3-küre arasında bir homeomorfizma vardır. Sonrasında, bu sanının daha genelhali olan Thurton'ın geometrikleştirme sanısı her 3 boyutlu kompakt manifoldusınıflandırmayla ilgiydi. Bu problemlerin çözümüyle ilgili en büyük adım 1982'deRicci akışını literatüre kazandıran Hamilton tarafından atılmıştır. Geçtiğimiz yıllarda,Perelman Ricci akışını kullanarak Poincaré sanısını (artık teorem) ispatlamıştır. Yenibir kavram olan Ricci solitonları bu şekilde ortaya çıkmıştır. Ricci solitonları, Ricciakış denkleminin kendi kendine benzer çözümleridir. Bu bölümde gradiyent Riccisolitonunu veren denklem ilerleyen bölümlerde kullanılmak üzere analiz edilmiştir.Ek olarak, bu alan ile ilgili şimdiye kadar yapılmış literatürdeki çalışmalar taranmış,teorem ve örnekler yardımıyla paylaşılmıştır.Son bölümde, kendi çalışmamız üzerine yoğunlaşıp, sonuçlarımızı güncel çalışmalarlailişkilendirdik. Literatüre baktığımızda, Einstein tipi yapılara sahip Riemannmanifoldlarının Ricci soliton örneği bulmak için araştırıldığını görüyoruz. Genelleştirilmiş Einstein manifoldlarından Ricci solitonlarına geçişte, Ricci tensörü, Hessiantensörü, ve tensör çarpımından olu¸san m-Bakry-Emery-Ricci tensörünün kullanıldığıgörülmektedir. Bu tezde, çeşitli Einstein tipi manifoldlarda paralel vektör alanıtanımlandığında Ricci soliton yapısı elde edilip edilemeyeceği araştırılmıştır. Üzerindeparalel vektör alanı tanımlanmış bir gradiyent Einstein tipi manifoldun, sabitskaler eğrilikli Ricci soliton ve yaklaşık yarı Einstein yapılarına sahip olduğugözlemlenmiştir. Sonucunda da, bu yapının konuyla ilgili bilinen temel teoremlereuyumlu olup olmadığı kontrol edilmiştir. H. D. Cao ve Q. Chen'in çalışmalarıyardımıyla, boyutu 5 ve 5'ten büyük olan manifoldların bazı koşullar altında harmonikWeyl tensörüne sahip olduğu ve Z. Hu, D. Li ve S. Zhai'nin çalışmalarıylailişkilendirildiğinde bir aralık ile (n-1) boyutlu bir Einstein manifoldunun katlıçarpımına isometrik olduğu görülmüştür. Son olarak da, bu yapıya örnek olarak 3boyutlu, Bach düz yapıya sahip bir manifold verilmiştir.

The Riemannian geometry has been an outstanding branch of mathematics due to itsimportance in understanding many geometrical structures. In the last century, somescientists have introduced new concepts to describe more complex structures. The newimprovements helped Perelman to solve Poincaré conjecture by using the Ricci flow.There are still lots of unknowns in the associated topics such as gradient Einstein-typemanifolds, quasi-Einstein manifolds, and Ricci solitons which are examples for themost significant ones. To contribute to the field, we have tried to find some specialstructures as instances for the Ricci solitons.In this thesis, we started with the introduction chapter which is composed of simpleanswers for how these new objects emerge, why we need them, and what is thegeometric meaning behind. The subjects which range from Einstein manifolds toRicci solitons have taken in hand according to the historical developments. Somemathematicians who had contributed to the field mentioned throughout the chapter. Atthe end, the aim of this study which try to relate some famous geometric concepts isgiven.In the second chapter, we have dealt with the basic knowledge on the Riemanniangeometry. Firstly, the definition of differentiable manifolds that are smooth, locallyEuclidean spaces is given. Then, some topological properties which belong to thesemanifolds are mentioned. It is known that the Riemannian metric g, a distancefunction, defined on differentiable manifolds to be able to examine curvatures.Moreover, the Riemann curvature tensor which is obtained from the metric g givesanother significant instrument,the Ricci tensor, by contraction. The tools like these tostudy the Riemannian geometry are described in detailed. Later on, we built up all thework on this knowledge.In the third chapter, we entered the main subjects of the thesis. Einstein manifoldsand quasi-Einstein manifolds are defined with respect to the Ricci tensor. Afterwards,gradient Einstein-type manifolds and their classifications are introduced in theexistence of some vector field X on the manifold. Several examples and couples ofrecent theorems are given in the following. Also, the trace-freeWeyl tensor, and relatedCotton, Bach, Schouten tensors are mentioned to consider the concept of curvaturein different ways. The relations between these tensors are observed through someimportant lemmas and theorems.In the next chapter, Hamilton's Ricci flow and Ricci solitons which are very populartopics because of the Poincaré conjecture are taken in hand. The equation for thegradient Ricci soliton is analyzed for the next chapter. Additionally, the cumulativeknowledge in the literature up to now has been shared with the help of theorems andexamples.In the last chapter, we have discussed the results of our study, and related them with therecent works of other colleagues. It has been searched for the Ricci soliton structureafter admitting parallel vector field on various types of Einstein manifolds. Then, thiscase is checked out if it fits to the well-known theorems of the topics. The outcomesof the research are noteworthy in a way that the studied structure sets an example forthe recent findings on the topic.