1-d numerical analyses of dynamic soil response under surface excitations

Abstract

Geoteknik mühendisliğindeki problemlerin çözümündeki en temel amaçlardan biri,tüm inşaat mühendisliği yapılarının zemin üzerinde ya da içinde bulunması sebebiyle,çeşitli dış yüklemeler ve iç tepkiler altında doğal zeminin davranışını belirlemektir.Suya doygun ve gözenekli bir zemin ortamının durağan halinde dış yükler altındavereceği reaksiyon ve yapısında oluşabilecek mekanik değişimler, `birleşik akış vedeformasyon teorisi` kapsamında çalışılır. Teoride, zeminin katı iskeletinin davranışıve daneler arasındaki zemin suyunun davranışının birbirleri üzerindeki bağıl etkilerive birbirleri ile hareketi birleşik bir yapıda incelenebilmektedir. Bu birleşik hesapyöntemi ilk olarak bir boyutlu konsolidasyon teorisinde karşımıza çıkar.Konsolidasyon teorisinin, çok boyutlu ve sıkışabilir boşluk suyu kabulü ilegenelleştirilmesi, `birleşik akış ve deformasyon` davranışının tanımlanmasına yolaçar. Bu sayede karmaşık zemin modellerinde kullanılan ve zemin iskeletinin hareketiile boşluk suyu basıncı etkisi birçok problem için çözülebilir hale gelir. Bu teorininardındaki matematiksel formülasyon, gözenekli ortamın birleşik dinamik davranışınıtemsil eden poroelastisite denklemleri aracılığıyla yazılır. Her ne kadar esas teori, hemkatı hem de boşluk akışkanlarının (gözeneklerin birden fazla çeşit sıvı ile dolmasıdurumu) hareketi ile ilişkili olsa da ve tüm eylemsizlik kuvvetlerini içeren bir `tamdinamik (FD) formülasyonu` halinde yazılsa da, daha pratik bir çözüm geliştirmekiçin bazı basitleştirilmiş varsayımlar yapılması tercih edilir. Gözenekli ortamın sadecetek bir sıvı ile dolu olması durumunda iki fazlı olarak ele alınması (örn. katı danelerve boşluk suyu) ile elde edilen bu basitleştirilmiş denklemler; i) Sıvı fazın ataletindenkaynaklı etkiler ihmal edildiğinde ortaya çıkan kısmi dinamik (PD), ii) Hem katı hemsıvı fazların atalet terimlerinin ihmal edilmesi durumunda yazılan yarı statik (QS)formülasyon şeklindedir. Sistemin dinamik tepkisi, fiziksel yapısı ve yükleme durumugöz önüne alınarak bu denklemlerin uygun formu ile analiz edilmelidir.Geoteknik mühendisliği problemlerinde, zeminin gerçek davranışının anlaşılması içinbaşlangıçta, zeminin gözeneksiz ve tek fazlı bir katı cisim olarak ele alınmasıdüşünülebilir. Böyle bir durumda zeminde boşluk suyu basıncının harici olaraksisteme etki ettirilip, akışın göz ardı edilmesi tercih edilebilir pratik bir yöntemdir. Buyöntem, zemin modellemesi açısından en kolay yol olduğu için, özellikle tek boyutluzemin ortamlarının dinamik çözümlerinde, bir ilk yaklaşım olarak kullanılabilir.Böylesi basitleştirilmiş bir yaklaşımın yanı sıra, zemin problemleri için analitikçözümlerin geliştirilmesi her zaman için tercih edilmektedir. Bir problem için analitikçözümün olması, problemde istenilen bilinmeyenlere neredeyse kesin cevap vereceksonuçlar elde etmemizi sağlar. Ancak ne yazık ki böylesi matematiksel çözümlerindoğrusal olmayan, heterojen ve anizotropik davranış özelliği gösteren komplekszeminler için elde edilebilmesi pek mümkün değildir. Bu sebeple nümerik çalışmalarvasıtasıyla bahsedilen gerçek zemin davranışına ulaşmada yaklaşımlar yapılması,geoteknik mühendisliği problemlerinin çözümünde oldukça önemli bir yer tutar. Butez çalışmasında, Sonlu Elemanlar Yöntemi kullanılarak yüzey yüklemeleri altındakibir boyutlu bir zemin kolonunun dinamik davranışına uygun sayısal çözümlergeliştirilmiştir.Tezin ilk kısmında, zemin gözenekli bir ortam olarak ele alınmış, doğrusal dinamikdavranışı incelenmiştir. Suya doygun bir boyutlu bir zemin kolonunun, harmonik yüzey yüklemesi altındaki kısmi dinamik ve yarı statik davranışı, sayısal olarak analizedilmiş, düşey deplasmanlar ve normalize edilmiş boşluk suyu basıncının zaman vederinlik ile değişimleri elde edilmiştir. Bahsedilen problemler için daha öncedenreferanslarda belirtildiği üzere geliştirilmiş olan analitik çözümlerin varlığı, bu sayedehesaplanan kesin sonuçların, yapılan sayısal modelleme çalışmasının doğruluğunuteyid etmek adına kullanılması açısından önem teşkil etmektedir. Bu sayede sayısalolarak elde edilen deplasman ve boşluk suyu basınçlarının analitik sonuçlarla uyumu,geliştirilen sayısal modellerin ve onların bilgisayara aktarımının doğruluğunukanıtlamıştır. Böylece, ilerleyen dönemde yapılan sayısal modelleme çalışmalarınında temelini atmıştır.Buraya kadar bahsedilen bu çalışmalar bir boyutlu suya doygunporoz elemanın doğrusal elastik davranışı için modellenmiş ve analiz edilmiştir. Lakinzeminin doğadaki gerçek davranışı, gerek malzeme açısından gerek fiziksel açıdan,doğrusallıktan uzaktır. Bu durumda sistemde kalıcı deformasyonlar oluşmaktadır.Malzeme açısından doğrusal olmayan davranış; malzemenin gerilme-şekil değiştirmeilişkisi tarafından belirlenir ve çeşitli teorik zemin modelleri ile sayısal analizlereyansıtılır. Bu modellerin temelini klasik plastisite teorisi oluşturmaktadır ve akla gelenilk model de elastik-mükemmel plastik modeldir.Bu tez çalışmasının ikinciaşamasında malzeme açısından plastik davranış ve bu davranışı sağlayan gerilme şekildeğiştirme ilişkisi kavramları incelenmiştir. Zemin modellemesi olarak, plastisiteteorisinin temelini oluşturan ve doğrusal olmayan davranış analizinde başlangıççalışmaları için kullanılması uygun kabul edilen elastik-mükemmel plastik ve elastikdoğrusalpekleşen plastik modelleri ele alınmıştır. Malzemenin gerilme-şekildeğiştirme davranışının elde edilmesi için bir bilgisayar programı geliştirilmiş,çevrimsel yük altında gerilme kontrollü ve çevrimsel bir deplasman altında da şekildeğiştirme kontrollü olarak analizler gerçekleştirilmiştir. Elastik ve elasto-plastikmalzeme davranışları da elde edilen grafikler üzerinden değerlendirilmiştir.Analizlerin doğruluğunu sağlamak adına, her hesap adımı kendi içerisinde çok dahaküçük adımlara bölünerek ilerlenmiş, bu sayede malzemenin elastikten elasto-plastikdavranışa geçiş aşamaları, hata payını minimuma çekecek şekilde hesaplanmıştır.Çalışma daha sonra malzeme açısından elasto-plastik davranışın bir boyutta tekserbestlik dereceli sistemlere uygulanışı üzerine devam etmiştir. Hareket denklemininbelirtilen sistemler için çözümü, uzay ve zaman tanım alanında elasto-plastik davranışıiçerecek şekilde gerçekleştirilmiştir. Zincir şekilde birbirini etkileyen doğrusalolmayan hesap adımları, belirli bir güncelleme ve iterasyon algoritması üzerindensürdürülmektedir. Seçilen zemin modelinin yönettiği bu süreçte, yinelemelihesaplamalar sonucu %0.5'in altında bir hata payı için analiz sürdürülmüş, bu hataoranının altında kalınan her değer, gerçeğe yakınsak kabul edilerek bir sonraki yükadımına geçilmesi uygun görülmüştür. Analizin tamamı yüzeysel bir yükleme sürecialtında, tek serbestlik dereceli sistemlerin zaman ve uzay boyutundaki elasto-plastikdinamik davranışını kapsamaktadır. Hesaplanan deplasmanların zamana bağlıdeğişimi, ilgili problemlerin referans alınan kaynaklardaki çözümleriylekarşılaştırılarak tezin ilgili bölümü tamamlanmıştır. Bu sayede oluşturulan sayısalanaliz yönteminin tek serbestlik dereceli bir sistemin elasto-plastik malzeme davranışıiçin dinamik olarak doğru analiz sonuçları verdiği kanıtlanmıştır. Devamında, tekserbestlik dereceli sistemler için oluşturulmuş sayısal analiz programı, sonlu elemanlaryöntemi ile geliştirilerek, çok serbestlik dereceli sistemlere kanalize edilmiştir. Buradabir zemin kolonu dikkate alınmıştır. Sayısal çalışma ile çok serbestlik dereceli katı birzemin kolonunun elasto-plastik dinamik davranışı modellenmiştir. Analizlerin doğruilerleyebilmesi adına bu bölümde elasto-plastik davranış için bölgesel bir yinelemelialgoritma kullanılmış, bu adımlarda da hata oranının %0.5'in altında kaldığı durumlar yeterli yakınsak kabul edilip, bir sonraki alt-adımlamaya geçiş sağlanmıştır.Sonuçların teyidi, sonlu elemanlar modelinde tek eleman seçimi sonucu meydanagelen deplasmanların, bir önceki bölümde tek serbestlik dereceli sistemler için eldeedilen deplasman değerleri ile kabul edilebilir ölçüde uyuşması ile sağlanmıştır.Doğruluğu teyid edilen bu sonlu elemanlar analizi, katı bir zemin kolonu içingenelleştirilmiş, tüm kolona ait düşey deplasmanların zamanla ve derinlikledeğişimleri sunulmuştur.Bu tezin amacı; suya doygun bir boyutlu bir zeminkolonunun, çoğu tekrarlı yüzeysel yüklemeler altında doğrusal olmayan dinamikdavranışının sayısal yöntemlerle analiz edilmesidir. Bu amaca yönelik olarak her türlüyükleme altında poroz zemin kolonunun lineer olmayan davranışını çözümleyen birprogram yazılmış, harmonik yükleme tipi ele alınmıştır. Detaylı bir şekilde sürdürülençalışmalar birleştirilerek meydana getirilen bir boyutlu sayısal zemin modelininanalizleri yapılmış, sonuçlar zemindeki deplasmanlar, boşluk suyu basıncı ve efektifgerilmenin derinlikle ve zamandaki değişimleri cinsinden çıkarılmıştır. Suya doygunve poroz bir zemin kolonunun gerilme-şekil değiştirme davranışı elastik-doğrusal vebirleşmiş pekleşen plastik modeli ile tanımlanmış, bu model birleşik akış vedeformasyon teorisi üzerine kurulmuş sonlu elemanlar programına aktarılarak zeminkolonunun sayısal analizleri zaman ve mekan tanım alanında elde edilmiştir. Sonuçlarelastik-doğrusal pekleşen böyle bir modelin zeminin tekrarlı yük altındaki doğrusalolmayan dinamik davranışını gerçekte gözlenen doğrulukta modelleyemediğiyönündedir. Bu açıdan ileride, suya doygun bir boyutlu bir poroz zeminin doğrusalolmayan dinamik davranışını hesaplamak üzere gerçekte deneylerle gözlenen zemindavranışını modelleyecek bir bünye modelinin aktarımıyla sonlu elemanlar modeliningeliştirilmesi hedeflenmektedir.

One of the main objectives of solving problems in geotechnical engineering is toevaluate the natural soil response under various external loads due to the fact that allcivil engineering structures are located on or inside a soil medium. Under steady stateor transient conditions, mechanical changes in a saturated soil system as a result of thechanges in drainage conditions or the internal structure, are studied by using the`theory of coupled flow and deformation` which essentially considers the deformationof solid skeleton and flow of pore fluid simultaneously. The mathematical formulationbehind this theory satisfies the coupled dynamic behavior of porous soils employingthe poro-elasticity equations. Although, the actual theory proposes what is called a`fully dynamic (FD) formulation` including all the inertial forces associated with themotion of both solid and fluid parts (i.e. if there is more than one fluid filling in thepores of the porous medium), it is typically preferred to make some simplifiyingassumptions in the theory to develop a more practical solution albeit not giving upfrom the accuracy. Taking the porous soil as a two-phase medium with only a singlepore fluid (i.e. as water in the case of soils), these simplified equations are obtained as;i) Partially dynamic (PD) where the inertial terms associated with the pore fluid areneglected, and ii) Quasi-static (QS) where the inertial terms of both solid and the fluidphases are neglected. The dynamic response of the system is then analyzed by theappropriate form of these equations considering the physical structure and loadingsituation given in the problem. While employing the complex poroelasticity equationshelps better understand the problem of evaluating the actual response of soils ingeotechnical engineering, it is of more practical value to initiate related studies bytaking the soil medium as a single-phase solid material neglecting the porous-structurein the beginning. In this way, pore water pressure is included externally in the systemas an 'ad-hoc' way and flow is not taken into account. That said, as it is the easiestway to model the soil behavior, it could be, therefore, pretty much the first approachto obtaining the solution of the dynamic problem, particularly in a one-dimensional (1-D) situation. Along with such a 'simplified' approach, one always chooses to developanalytical solutions to the problem because having a direct solution of a problemallows us to obtain exact results. However, most of the time it is not possible to obtainexact mathematical solutions for complex real-world soil-mechanics problems sincesoils are nonlinear, heterogeneous and anisotropic materials. Therefore, it is of utmostimportance to utilize numerical methods to approximate the actual soil behavior anddevelop accurate solutions. In this thesis, 1-D numerical solutions to the dynamicresponse of a soil column under surface excitations are developed using the FiniteElement Method (FEM). In the first part of the thesis, the soil is considered as a porousmedium, and its linear dynamic behavior is examined through 1-D FE analyses usinglinear bar-elements. The validity of this numerical study is confirmed by the availableanalytical solutions. Due to the fact that the actual behavior of the soil is inelastic, ourattention is turned to the actual nonlinear behavior. Here, since there can be irreversibledeformations taking place in the soil under cyclic loading, the `theory of plasticity` isemployed to handle the related calculations. To start off, nonlinear elasto-plasticbehavior of a solid material is evaluated by the stress-strain relationship which is thenimplemented in a MATLAB program in terms of a number of basic constitutive models. These are: the elastic-perfectly plastic model, elastic-linear isotropichardening plastic model and the elastic-linear combined isotropic and kinematichardening plastic model, which are considered to be the basis of the nonlinear part ofthis study. Then a number of single-degree-of-freedom systems (SDOF) are analyzedusing such elasto-plastic behavior of the material. The nonlinear finite elementanalyses in this section involve solution of the stiffness relation using the 'Newton-Raphson Method' and updating its components iteratively at each time-step andcalculating and updating the internal force obtained from the elasto-plastic stress-strainrelationship as a result of updated degree of freedoms. Then this numerical analysisprogram, as developed for a SDOF system, is expanded by implementing the equationof motion written in terms of the governing equations of a solid soil element andsubsequently of the equations of a porous soil element, into a large-purpose MATLABcode. This is a nonlinear dynamic finite element program developed to analyse a multidegree of freedom soil column under any loading. Our focus was on harmonic responseof soil whose stress-strain behavior is governed by elastic-combined hardening plasticmodel. The FE solution of the nonlinear dynamic analysis of a porous soil column,which is verified for a single element behavior, constitutes the ultimate extent of thisthesis study. Interesting results obtained from each chapter are presented at the end ofrespective sections and summarized in the conclusions. As for future works, it isplanned to analyse the dynamic response of the soil with a more realistic nonlinear soilmodel able to capture the actual cyclic-plastic soil behavior using the gainedknowledge on the nonlinear dynamic finite element analysis.