Classification of lattès maps

Abstract

Bu tezin amacı, holomorfik olarak C/Ʌ üzerinde tanımlı bir afin fonksiyona konjuge olan Ĉ üzerinde tanımlı Lattès fonksiyonlarını incelemektir. Bu fonksiyonları derinlemesine incelemek için, bu çalışmanın içinde dinamik sistemler, cebirsel topoloji ve kompleks analizden çeşitli kavramları inceliyoruz. Bu çalışmanın bir kısmı da John Milnor'un Lattès fonksiyonu ile alakalı sonuçları ile ilişkilidir. Spesifik olarak, konjugasyon holomorfizmasının derecesinin 2, 3, 4 veya 6 olacağını göreceğiz. Bundan sonra, bu sonuçları ve bir eliptik fonksiyonun Weierstrass' eliptik fonsiyonu ve türevinin bir rasyonel fonksiyonu olarak yazılabildiği özelliğini kullanarak, derecesi bilinen konjugasyon holomorfizmasının formunu tanıtıyoruz. Son olarak Lattès fonksiyonlarının dallanma davranışlarını izah ediyoruz.

The purpose of this thesis is to investigate Lattès maps on Ĉ which are holomorphically conjugate to an affine map on C/Ʌ. In this work, we introduce some notions and facts from dynamical systems, algebraic topology and complex analysis in order to examine these maps deeply. A part of our work concerns the results of John Milnor related to Lattès maps. Specifically, we will see that the degree of a conjugating holomorphism is either 2, 3, 4 or 6. Following this, we introduce the explicit form of a conjugating holomorphism of a given degree by using the aforementioned results in addition with the property that an elliptic function can be written as a rational function of Weierstrass' elliptic function and its derivative. Finally, we describe the ramification behaviour of Lattès maps.